Рассмотрим треугольник $ABC$, где $O$ — центр описанной окружности. Известно, что угол $BAC=30^{\circ }$. По условию, центр окружности $O$ находится на стороне $AB$.

Это значит, что точка $O$ лежит на продолжении $AB$. В таком случае угол $ABC$ и угол $ACB$ должны подкреплять угол $BAC$ до $180^{\circ }$, потому что сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ }$.

Пусть угол $ABC=x$, тогда угол $ACB$ будет равен:

$$180^{\circ }-\angle BAC-\angle ABC=180^{\circ }-30^{\circ }-x=150^{\circ }-x$$

Теперь рассмотрим дуги описанной окружности. Угол при вершине треугольника равен половине угла, который смотрит на ту же дугу. Следовательно, угол, который опирается на сторону $AC$ $тоесть(ACB)$, будет равен:

$$\frac{1}{2}\angle AOB$$

где $O$ — центр окружности, и $\angle AOB$ — это угол, который соответствует дуге $AB$.

С учетом этого, угол $ACB$ также равен половине соответствующего угла в круге, что означает:

$$ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}(180^{\circ }-\angle ABC)=\frac{1}{2}(180^{\circ }-x)$$

Приравняем это к $150^{\circ }-x$:

$$150^{\circ }-x=\frac{1}{2}(180^{\circ }-x)$$

Умножим обе стороны на 2 для удобства:

$$2(150^{\circ }-x)=180^{\circ }-x$$ $$300^{\circ }-2x=180^{\circ }-x$$ $$300^{\circ }-180^{\circ }=2x-x$$ $$120^{\circ }=x$$

Таким образом, угол $ABC$ равен $120^{\circ }$.

Ответ:

$$\angle ABC=120^{\circ }$$