Для доказательства того, что треугольники ( \triangle ABD ) и ( \triangle CBD ) равны, воспользуемся известными свойствами углов и биссектрис.

Условие равенства углов: По условию, угол ( \angle AND = \angle CFB ). Обозначим этот угол как ( \alpha ).

Свойство биссектрисы: Поскольку ( BD ) является биссектрисой угла ( ABC ), то угол ( \angle ABD ) равен углу ( \angle CBD ). Обозначим этот угол как ( \beta ).

Теперь рассмотрим треугольники ( \triangle ABD ) и ( \triangle CBD ):

Углы ( \angle ABD = \beta ) и ( \angle CBD = \beta ) (из свойства биссектрисы);Угол ( \angle ADB ) общий для обоих треугольников.

Таким образом, по угловому равенству (угол - угол - угол) мы можем заключить, что:

[
\triangle ABD \cong \triangle CBD
]

То есть, треугольники равны по углам (по угловому равенству).

Таким образом, мы доказали, что треугольник ( \triangle ABD ) равен треугольнику ( \triangle CBD ).