Пусть количество отмеченных точек равно ( n ). Если никакие три точки не лежат на одной прямой, то количество отрезков, которые можно провести через любые две точки, задается формулой комбинаций:

[
\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}
]

По условию задачи, известно, что это количество равно 36. Тогда мы можем записать уравнение:

[
\frac{n(n-1)}{2} = 36
]

Умножим обе стороны на 2:

[
n(n-1) = 72
]

Теперь раскроем уравнение:

[
n^2 - n - 72 = 0
]

Чтобы решить это квадратное уравнение, воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]

Здесь ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -72 ):

[
n = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{1 \pm 17}{2}
]

Это даёт нам два значения:

[
n = \frac{18}{2} = 9 \quad \text{и} \quad n = \frac{-16}{2} = -8
]

Поскольку количество точек не может быть отрицательным, остаётся только положительное значение:

[
n = 9
]

Таким образом, количество отмеченных точек равно ( \boxed{9} ).