Рассмотрим равенство из условия (один из вариантов)
XA^2 + XB^2 + XC^2 = XB^2 + XC^2 + XD^2.
Из него сразу сокращаются одинаковые слагаемые XB^2 и XC^2, и остаётся
XA^2 = XD^2.

1) Прямое геометрическое описание
XA^2 = XD^2 ⇔ XA = XD, то есть X равноудалён от точек A и D. Множество таких точек — срединная плоскость отрезка AD: плоскость, перпендикулярная AD и проходящая через его середину M = (A + D)/2. Следовательно множество точек X, удовлетворяющих исходному равенству, — именно эта плоскость.

2) Алгебраическое доказательство (коротко)
Пусть векторные координаты точек. Разность квадратов:
|X−A|^2 − |X−D|^2 = (X·X − 2X·A + A·A) − (X·X − 2X·D + D·D)
= 2X·(D−A) + (A·A − D·D).
Равенство нулю даёт линейное уравнение
X·(D−A) = (D·D − A·A)/2,
что есть уравнение плоскости с нормалью D−A. Подстановка X = (A+D)/2 показывает, что плоскость проходит через середину AD.

3) Частные и смежные случаи

Если в другом варианте сравниваются другие тройки, например XA^2+XB^2+XD^2 = XA^2+XC^2+XD^2, то аналогично получаем XB^2 = XC^2, и locus — срединная плоскость отрезка BC.

Если требуют одновременно двух таких равенств, например
XA^2+XB^2+XC^2 = XB^2+XC^2+XD^2 (плоскость π_AD)
и XA^2+XB^2+XD^2 = XB^2+XD^2+XC^2 (плоскость π_AC),
то решением будет пересечение двух плоскостей π_AD ∩ π_AC. Как правило это прямая (если плоскости не параллельны), либо пустое множество (если плоскости параллельны и различны), либо сама плоскость (если они совпадают).

Если потребовать равенства всех аналогичных сумм (т. е. три независимых равенства), то из них следует
XA^2 = XB^2 = XC^2 = XD^2,
то есть X равноудалён от всех четырёх вершин — центр описанной сферы тетраэдра (единственная точка, так как тетраэдр невырожденный). Поэтому пересечение трёх попарных срединных плоскостей даёт центр описанной сферы.

В частном симметричном случае (например правильный тетраэдр) эти срединные плоскости проходят через центр тетраэдра и являются симметричными плоскостями; их пересечения дают оси симметрии и центр.

4) Общая схема доказательства и обобщения

Метод 1 (разложение квадратов) — самый прямой: раскрыть квадраты расстояний и сократить общие члены, получить линейное уравнение для X (уравнение плоскости).Метод 2 (симметрия) — геометрический: транспортная симметрия (отражение) относительно срединной плоскости AD переводит A в D; множество точек, остающихся на равном расстоянии от A и D, — та плоскость.Метод 3 (векторная/координатная) — показать, что разность сумм квадратов есть линейная функция координат X (если коэффициенты при |X|^2 сокращаются), значит геометрическое место — плоскость.

Обобщение: для произвольных точек Ai и чисел αi уравнение Σ αi |X−Ai|^2 = 0 даёт
(Σ αi) |X|^2 − 2X·(Σ αi Ai) + Σ αi |Ai|^2 = 0.
Если Σ αi = 0, то квадрат |X|^2 исчезает и остаётся линейное уравнение — плоскость (если не противоречиво). В нашем исходном случае αi ∈ {+1,−1} и сумма αi = 0, поэтому и получается плоскость.

Краткий итог: множество точек X, для которых XA^2+XB^2+XC^2 = XB^2+XC^2+XD^2, — срединная плоскость отрезка AD; аналогично для других троек — срединные плоскости соответствующих пар вершин. Пересечения таких плоскостей дают прямые или, в общем случае при трёх независимых равенствах, единственную точку — центр описанной сферы.