Короткий ответ: утверждение неверно в общем. Оно выполняется не для любого тетраэдра, а ровно для тех тетраэдров, в которых суммы квадратов противоположных рёбер равны:
AB^2+CD^2 = AC^2+BD^2 = AD^2+BC^2.
Такие тетраэдры обычно называются ортоцентрическими (каждая высота проходит через противоположную вершину). Ниже — пояснение и способы доказательства/опровержения.

1) Простой числовой контрпример
Возьмём A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(0,0,1). Тогда
S_ABC = 1/2, S_ABD = 1/2, S_ACD = 1/2, S_BCD = √3/2.
S_ABC^2+S_ABD^2 = 1/4+1/4 = 1/2, а S_ACD^2+S_BCD^2 = 1/4+3/4 = 1.
Равенство не выполняется.

2) Стандартный точный критерий (необходимое и достаточное условие)
Используя формулу Герона в форме через квадраты сторон:
для треугольника со сторонами p,q,r
16S^2 = 2(p^2q^2+q^2r^2+r^2p^2) − (p^4+q^4+r^4).
Подставив эту формулу для всех четырёх граней тетраэдра ABCD и сократив, получают факторизацию
16·(S_ABC^2+S_ABD^2 − S_ACD^2 − S_BCD^2)
= (AB^2+CD^2 − AC^2 − BD^2)·(AB^2+CD^2 − AD^2 − BC^2).
Аналогичные выражения получаются при циклических перестановках вершин. Из этой формулы видно, что
S_ABC^2+S_ABD^2 = S_ACD^2+S_BCD^2
тогда и только тогда, когда выполняются два (и тогда автоматически третье) равенства
AB^2+CD^2 = AC^2+BD^2 = AD^2+BC^2.

3) Геометрические и алгебраические подходы к доказательству/выводу

Прямой алгебраический (Heron): как я показал, разложив 16S^2 каждой грани через квадраты сторон и просуммировав, получаете факторизацию, дающую условие на рёбра.Векторный подход: поместить A в начало координат, обозначить векторы b=AB, c=AC, d=AD; записать площади через квадрат модулей векторных произведений (4S^2 = |u×v|^2 = |u|^2|v|^2 − (u·v)^2). Разложение и упрощение даёт то же условие на скалярные произведения, эквивалентное равенству сумм квадратов противоположных рёбер.Метод детерминанта Кайли–Менгера: выразить объём и площади через детерминант матрицы попарных расстояний; сравнение соответствующих выражений тоже приводит к условию на квадраты рёбер.Геометрическая интерпретация: в ортоцентрическом тетраэдре противоположные рёбра «сбалансированы» по квадратам длин, и тогда указанные суммы квадратов площадей равны. Обратно — равенство сумм площадей^2 влечёт равенство сум квадратов рёбер, откуда следует ортоцентричность.

4) Вывод
Общее утверждение «в любом невырожденном тетраэдре S_ABC^2+S_ADB^2 = S_BCD^2+S_ACD^2» неверно. Правильная формулировка: это равенство выполняется тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных рёбер равны (эквивалентно: тетраэдр ортоцентрический).

Если нужно, могу:

привести подробный пошаговый алгебраический вывод факторизации из формулы Герона,расписать векторное доказательство с полными вычислениями,или привести дополнительные числовые примеры и иллюстрации.