Обозначим данную окружность S = (O, r). Пусть искомая окружность Σ имеет центр X и радиус R и проходит через фиксированные точки A и B. Тогда:

1) Так как Σ проходит через A и B, то XA = XB = R. Следовательно центр X принадлежит средней перпендикулярной к отрезку AB; обозначим эту прямую l.

2) Условие касания Σ и S означает одно из двух:

внешнее касание: расстояние между центрами равно сумме радиусов, XO = R + r;внутреннее касание: расстояние между центрами равно модулю разности радиусов, XO = |R − r|.

Подставляя R = XA в эти равенства, получаем эквивалентные уравнения для центра X:
XO = XA + r (внешнее касание),
XO = |XA − r| (внутреннее касание).

То есть для искомого центра X выполнено условие: модуль разности расстояний до двух точек O и A равен r:
|XO − XA| = r.

3) Геометрически множество точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек O и A равна фиксированной константе r, — это гипербола с фокусами в O и A (или две её ветви для положительной и отрицательной разности). Поэтому искомое множество центров есть пересечение средней перпендикулярной l и множества точек гипербол (с фокусами O и A) с параметром r. То есть
L = l ∩ {X : |XO − XA| = r}.

4) Из алгебры (или из того, что прямое пересечение линии и гиперболы даёт не более двух точек для каждой ветви) следует, что для каждой из двух арифметических возможностей знака (XO − XA = ±r) на прямой l уравнение даёт не более двух точек. Следовательно всего может быть не более четырёх возможных центров X (две для внешнего касания и две для внутреннего).

5) Особые случаи:

если одно из уравнений не имеет действительных решений на l (например, параметр r слишком велик по сравнению с конфигурацией точек), соответствующий тип касания не реализуется;если O лежит на l, то получаем симметричные относительно середины AB решения по каждой ветви гиперболы (обычно по две для каждой ветви, итого максимум четыре, но симметрично расположенные);никакой бесконечной множности центров (кроме тривиальных вырожденных случаев r = 0 и т. п.) не возникает.

Вывод. Множество центров всех окружностей, проходящих через A и B и касающихся заданной окружности S, равно пересечению средней перпендикулярной к AB с двумя гиперболическими множествами с фокусами O и A (эквивалентно O и B). В общем случае это не более четырёх точек (до двух для внешнего и до двух для внутреннего касания).