Работаем в евклидовой плоскости R^2. Пусть заданы три преобразования:

параллельный перенос Ta: x ↦ x + a $a\in R^2$,поворот Rθ вокруг начала координат на угол θ: x ↦ Rθ x, где Rθ = $$[cos\theta ,-sin\theta ],[sin\theta ,cos\theta ]$$,центральная симметрия $симметрияотносительноточкиp$ Sp: x ↦ 2p − x = −x + 2p.

Рассмотрим композицию $справаналево$ f = Ta ∘ Rθ ∘ Sp.
Покажем, как привести f к нормальной $аффинной/изометрической$ форме и как классифицировать полученное преобразование.

1) Приведение к матрично-афинной форме
Применяем преобразования к вектору x:
Sp$x$ = −x + 2p,
Rθ$Sp(x)$ = Rθ$-x+2p$ = −Rθ x + 2Rθ p,
Ta$R\theta (Sp(x))$ = a + $-R\theta x+2R\theta p$ = −Rθ x + $a+2R\theta p$.

Обозначим b := a + 2Rθ p. Тогда
f$x$ = −Rθ x + b.

Заметим, что −Rθ = Rπ Rθ = Rθ+π $потомучтоумножениематрицсоответствуетсуммеуглов$; следовательно линейная часть f — это поворот на угол φ = θ + π. Итого
f$x$ = Rφ x + b, где φ = θ + π, b = a + 2Rθ p.

Это уже стандартная аффинная форма $линейнаячасть—ортогональнаяматрицаповорота,плюсвекторпереноса$. Это — изометрия плоскости, сохраняющая ориентацию $det=1$.

2) Классификация: когда это перевод, когда поворот

Если φ ≡ 0 $mod2\pi$, т.е. θ ≡ π $mod2\pi$, то Rφ = I, и f$x$ = x + b — чистая параллельная переноска $возможнотождественноеприb=0$. Это легко увидеть и прямо из исходных преобразований: если θ = π, то Rθ = −I, и Sp затем Rθ даёт Rθ ∘ Sp = $-I$ ∘ $-I$ = I $центральнаясимметриявокругp—этоповоротна\pi вокругp,умножениена-Iсмещенодаётобратно$ и всё сводится к Ta с переносом b = a − 2p.

Если φ ≠ 0 $mod2\pi$, то Rφ ≠ I, матрица I − Rφ невырождена и уравнение для фиксированной точки c
$I-R\phi$ c = b
имеет единственное решение. Эта точка c — центр вращения f, и в системе координат с центром в c преобразование — чистый поворот на угол φ:
ввести x = c + y, тогда f$c+y$ = c + Rφ y.

Поэтому в плоскости композиция всегда даёт либо параллельный перенос $если\theta =\pi (mod2\pi )$, либо поворот на угол φ = θ + π с уникальным центром $иначе$. Тождественная ситуация — частный случай обоих $\phi =0иb=0$.

3) Явная формула для центра вращения $координатныйметод$ Пусть Rφ = $$[cos\phi ,-sin\phi ],[sin\phi ,cos\phi ]$$. Тогда
I − Rφ = $$[1-cos\phi ,sin\phi ],[-sin\phi ,1-cos\phi ]$$.
Её определитель det$I-R\phi$ = 2$1-cos\phi$ = 4 sin^2$\phi /2$ ≠ 0 при φ ≠ 0 $mod2\pi$. Обратная матрица:
$I-R\phi$^{−1} = $1/det$ $$[1-cos\phi ,-sin\phi ],[sin\phi ,1-cos\phi ]$$.
Тогда центр
c = $I-R\phi$^{−1} b.

$Прижеланииэтуформулуможноупроститьчерез\phi /2:1-cos\phi =2si{n}^2(\phi /2),sin\phi =2sin(\phi /2)cos(\phi /2),ит.п.$

4) Представление в комплексных координатах $коротко$ Если точки задаются комплексным числом z, p, a, то
f$z$ = a + e^{iθ}$2p-z$ = − e^{iθ} z + $a+2e^{i\theta }p$ = e^{iφ} z + b, φ = θ + π, b = a + 2 e^{iθ} p.
Центр вращения $\phi \ne 0$ равен c = b/$1-e^{i\phi }$.

5) Связь со сверещением $винтовойсимметрией$ в пространстве R^3
В плоскости у нас выходящие случаи — только перенос или вращение $какпоказановыше$. В пространстве R^3 понятие винтовой симметрии: композиция поворота вокруг прямой-оси и переноса вдоль этой же оси. Как связать с нашим планарным f?

Если рассматривать f как жёсткое движение пространства, которое оставляет некоторую плоскость Π $вкотороймыработаем$ инвариантной и действует в ней как Rφ x + b $т.е.поворотвокругнормалик\Pi плюспереносв\Pi$, то в трехмерном пространстве общий изометрический тип зависит от вектора переноса t ∈ R^3, который может иметь компонент вдоль оси поворота и компонент в поперечной плоскости Π:

Если мы захотим реализовать в R^3 поворот Rφ $угол\phi$ как поворот вокруг оси ν, то любое трёхмерное движение вида X ↦ Rot_ν$\phi$ X + t будет
чистым вращением вокруг оси ν, если t параллелен оси и φ ≠ 0 при t_∥ = 0? Корректнее: если t = 0, то чистое вращение;винтовым движением $screw$ если φ ≠ 0 $mod2\pi$ и t имеет ненулевую компонент вдоль оси ν — тогда композиция поворота и параллельного переноса по той же оси даёт винтовую симметрию $сдвигвдольоси+угол$.чистым переносом по оси, если φ = 0 и t ≠ 0.

Таким образом, наша плоская f задаёт вектор переноса b, лежащий в плоскости Π. Если мы в 3D реализуем ту же ортогональную линейную часть как поворот вокруг оси ν, перпендикулярной Π, и возьмём 3D-вектор переноса t, у которого поперечная $в\Pi$ часть равна b, а параллельная оси часть t_∥ произвольна, то:

параллельная часть t_∥ = 0 и φ ≠ 0 → это просто вращение вокруг ν $вплоскости—поворотсцентром$;t∥ ≠ 0 и φ ≠ 0 → это винтовое движение $винтоваясимметрия$ с винтовым шагом = t∥ при повороте на φ;φ = 0 и t ≠ 0 → чистый перенос.

Иначе говоря: сама по себе композиция Sp, Rθ, Ta в плоскости не даёт «винтового» движения в R^3 — она либо поворот в плоскости, либо перенос. Чтобы получить винтовую симметрию в пространстве, нужно дополнительно иметь перенос вдоль оси поворота $ортогональныйкомпонентвекторапереноса$, т. е. рассматривать расширение плоского преобразования на пространство с ненулевой продольной компонентой переноса.

6) Пример
Пусть p = $1,0$, θ = π/2, a = $0,1$.
Тогда φ = θ + π = 3π/2. Rθ p = rotation by π/2 of $1,0$ = $0,1$, поэтому b = a + 2Rθ p = $0,1$ + 2$0,1$ = $0,3$.
f$x$ = R_{3π/2} x + $0,3$. Так как φ ≠ 0, у f есть единственный центр c = $I-R\phi$^{-1} b; подставив числа можно найти координаты c явно.

Короткий итог

Композиция Ta ∘ Rθ ∘ Sp даёт в координатах f$x$ = Rφ x + b с φ = θ + π и b = a + 2Rθ p.В плоскости такие преобразования — только повороты $\phi \ne 0$ либо параллельные переносы $\phi =0mod2\pi$.В пространстве винтовая симметрия возникает, когда к повороту вокруг оси добавлен перенос вдоль той же оси; для «поднятия» плоской f в винтовое движение требуется добавить компонент переноса вдоль оси, перпендикулярной плоскости.