Пусть дана прямая L и плоскость Π, причём L ⊂ Π. Нужно описать множество
M = {X ∈ R^3 : dist$X,L$ = dist$X,\Pi$}.

1) Идея метода $проекцияиразложениепоперпендикулярам$.
Для произвольной точки X обозначим X' — ортогональную проекцию X на плоскость Π $т.е.X{X}^{\prime }\perp \Pi ,X^{\prime }\in \Pi$. Для любой точки Q ∈ L имеем по теореме Пифагора
|XQ|^2 = |XX'|^2 + |X'Q|^2,
потому что XX' ⟂ Π и X'Q лежит в Π. При минимизации расстояния по Q получаем
dist$X,L$^2 = |XX'|^2 + dist$X^{\prime },L$^2.
Но |XX'| = dist$X,\Pi$. Следовательно
dist$X,L$^2 = dist$X,\Pi$^2 + dist$X^{\prime },L$^2. $★$

Из $★$ видно, что dist$X,L$ = dist$X,\Pi$ ⇔ dist$X^{\prime },L$ = 0 ⇔ X' ∈ L.
То есть условие равенства расстояний эквивалентно тому, что ортогональная проекция X на Π лежит на L.

2) Описание геометрического места — конструкция и заключение.
Множество всех точек X, чья проекция на Π лежит в L, — это объединение всех прямых, проходящих через точки L и перпендикулярных Π. Такое объединение образует плоскость Σ, содержащую L и проходящую через L в направлении нормали к Π. Иными словами, Σ — единственная плоскость, содержащая L и ортогональная плоскости Π.

Таким образом
M = Σ = {точки плоскости, содержащей L и перпендикулярной Π}.

3) Аналитическая иллюстрация $координатныйметод$.
Выберем систему координат так, чтобы Π : z = 0, а L — x‑ось {$t,0,0$} ⊂ Π. Для точки X = $x,y,z$ имеем dist$X,\Pi$ = |z| и dist$X,L$ = sqrt$y^2+z^2$. Условие равенства даёт sqrt$y^2+z^2$ = |z| ⇒ y^2 = 0 ⇒ y = 0. Это равносильно уравнению плоскости y = 0 $плоскость,содержащаяx‑иz‑оси$, что совпадает с описанной выше Σ.

4) Свойства полученного множества.

Вид: плоскость Σ.Содержит L $приz=0,y=0получаемx‑ось$.Связность: Σ — связное, линейно связное и просто связное множество $втопологии—евклидоваплоскость$.Размерность: двумерное подмножество R^3.Доп. комментарии: точки, лежащие в Π но не на L, не принадлежат M (их расстояние до Π равно 0, до L > 0). Все точки с проекцией на Π, совпадающей с точкой на L, входят в M $включаясамуL$.

5) Зависимость от взаимного положения L и Π.
В условии уже дано L ⊂ Π. Именно в этом случае множество является единственной плоскостью Σ, содержащей L и перпендикулярной Π. Других вариантов $разбиениенанесколькокомпонентит.п.$ нет.

Кратко: геометрическое место точек, расстояние от которых до прямой L равно расстоянию до плоскости Π $приL\subset \Pi$, — это плоскость, содержащая L и перпендикулярная Π; она связна и бесконечна.