Приведу конкретную прикладную задачу из промышленной визуальной инспекции и разметки на конвейере — она хорошо иллюстрирует применение аналитической геометрии и преобразований $проекции,аффинные/проектныепреобразования$ и позволяет обсудить допустимые геометрические упрощения.

Задача

На конвейере движутся плоские детали $печатныеплаты,металлическиепластиныит.п.$. Нужно по изображению с одной стационарной камеры измерять линейные размеры $длины,расстояниямеждуметками$, ориентировать шаблон, отсекать бракованные детали и/или наносить метки в реальные координаты детали.Ограничения: одна камера сверху, деталь лежит почти плоско, требования к точности измерений — например, 0.5–2% по длине.

Математическая модель $короткоиемко$ 1) Модель проекции $пинхолкамера$

3D-точка X = $$X,Y,Z,1$$^T проецируется в однородные координаты изображения x = $$u,v,1$$^T согласно
x ~ K $$R|t$$ X,
где K = $$[fx,s,cx],[0,fy,cy],[0,0,1]$$ — матрица внутренних параметров $фокусныерасстоянияfx,fy,сдвигглавнойточкиcx,cy,возможныйскошенныйуголs$, R — матрица поворота, t — вектор смещения камеры.

2) Случай плоской детали $Z=0всистемедетали$

Тогда проекция сводится к трехмерному проектному $гомографическому$ преобразованию между координатами плоскости детали $X,Y,1$^T и пиксельными координатами x:
x ~ H $$X,Y,1$$^T,
где H — 3×3 гомография. При разложении: H = K $$r1r2t$$ $r1,r2—первыедвастолбцаR$, т.е. проектирование плоскости описывается 8 независимыми параметрами гомографии.

3) Оценка H из измерений

Наблюдаемые соответствия $Xi,Yi$ <-> $ui,vi$ дают линейные уравнения для векторизованного h $9элементовгомографии$. Метод DLT: составляем систему A h = 0 и извлекаем h как собственный вектор соответствующий минимальному собственному значению $нормализациякоординатулучшаетустойчивость$. Минимум 4 ненакладывающиеся соответствия требуются.

4) Восстановление метрических размеров

Если K известно $калибровкакамеры$, то можно извлечь r1,r2,t из H: выбрать масштаб λ такой, что λ $$r1r2t$$ = K^{-1} H, нормировать r1 и r2 $онидолжныбытьортонормированы$, получить r3 = r1 × r2. Тогда координаты точки на плоскости можно восстановить в мировых единицах $приусловии,чтоисходные(X,Y)заданывметрахилизаданмасштабчерезэталонноерасстояниенаплоскости$.Если K неизвестно, но известны некоторые метрики на плоскости $наименьшеерасстояниемеждудвумяметками$, можно получить преобразование до подобия $scale+rotation+translation$ и восстановить реальные размеры, задав масштаб.

Какие геометрические упрощения допустимы и почему
1) Аппроксимация перспективы аффинным преобразованием

Когда вариация глубины $\Delta Z$ на плоскости мала по сравнению с расстоянием до камеры $D$: ΔZ / D << 1, члены проектной матрицы, приводящие к делению на $h31x+h32y+h33$, почти постоянны. Тогда гомографию можно аппроксимировать аффинным преобразованием $последняястрока[001]$.Практическое правило: если линейный размер детали L и расстояние до камеры D дают отношение L/D < 0.01–0.05, ошибка, внесённая заменой перспективы ортографической/аффинной проекцией, будет порядка 1–5% и может быть приемлема. Для более строгих допусков (>1% точности) лучше использовать полную проектную модель.Почему допустимо: при малом угле обзора перспективное и аффинное проекции близки $производнаяперспективногоделениямала$.

2) Ортографическая аппроксимация

Частный случай аффинного: когда перспективные искажения полностью пренебрежимо малы $например,фокусноерасстояниевелико,камерадалеко$, можно считать проекцию ортографической $проецированиепараллельно$, что упрощает математику $линейныепреобразованиябезделения$.Применимо для вычислительно интенсивных задач, где точность измерения менее критична.

3) Игнорирование радиальной дисторсии объектива

Если радиальная дисторсия малы по сравнению с разрешением пикселя $например,k1<em>r^2</em>\ll 1длядиапазонаrвкадре$, можно не корректировать дисторсию. Для широкоугольных объективов или больших r это нельзя делать.Практика: при промышленной аппаратуре обычно проводят калибровку и корректировку дисторсии, но для мобильных приложений/прототипов можно игнорировать при небольших полях зрения.

4) Упрощение матрицы K $fx\approx fy,s=0$

Многие камеры имеют почти квадратные пиксели и нулевой skew; можно принять fx = fy и s = 0. Это уменьшает число неизвестных параметров и повышает устойчивость оценки при скудных данных.Допустимо, если заранее известно о характерах сенсора/объектива.

5) Планарная аппроксимация кривых/рельефных поверхностей

Если поверхность имеет малую кривизну относ. масштаба измеряемой области, можно разбить её на набор локальных планарных патчей и применять гомографию к каждому патчу.Почему: локально любая гладкая поверхность аппроксимируется плоскостью; погрешность зависит от второго порядка кривизны и площади патча.

6) Линеаризация малых поворотов

Для крайне малых углов поворота θ можно заменить R ≈ I + $$\omega$$×, что позволяет линейный аппроксимационный анализ $полезноприбыстромоцениваниипоправок$. Это применимо только при θ ≪ 1 радиан.

Ошибка, связанная с упрощениями — как оценивать

Перспективная ошибка при аппроксимации как аффинная ~ ΔZ / D. Более формально: разделитель перспективы 1/$1+(h31x+h32y)/h33$, если |$h31x+h32y$/h33| ≤ ε, то относительная ошибка ≤ O$\epsilon$.Радиальная дисторсия: относительная искажающая величина ~ k1 r^2; если требуется погрешность < δ, нужно k1 r^2 < δ.

Практические рекомендации

Для точных измерений (погрешность < 1–2%): калибровать камеру $Kидисторсию$ и использовать полную модель проекции + извлечение гомографии/позы.Для быстрых, устойчивых решений с умеренными требованиями к точности: использовать модель гомографии $плоскаядеталь$ с аппроксимацией fx=fy, s=0; возможно игнорировать дисторсию при малом FOV.Для низкой точности и высокой производительности: можно использовать аффин/ортографию, если L/D мало (см. правило L/D < 0.01–0.05).Если поверхность не плоская, разделите её на мелкие фрагменты и применяйте локальные плоские аппроксимации; контролируйте величину кривизны и размер патча.

Короткий итог

Для плоских объектов ключевой инструмент — гомография H, получаемая из соответствий, и разложение H = K $$r1r2t$$ для получения метрических размеров при известной калибровке.Допустимые упрощения: аффинная/ортографическая аппроксимации, игнорирование малой дисторсии, упрощение K — при условии малого относительного размера объекта по сравнению с дистанцией и малого угла обзора. Эти упрощения резко упрощают вычисления и оценку, но вводят ошибку порядка ΔZ/D или порядка параметров дисторсии; выбор зависит от требуемой точности.

Если нужно, могу:

привести шаги алгоритма оценивания H $DLT$ с формулами и нормализацией,показать, как извлечь r1,r2,t из H и получить реальные координаты точек,или дать численный пример/оценку погрешности для конкретных L, D, fx.