Пусть (AB=c) (фиксированная длина). Обозначим углы при вершинах (A,B,C) через (A,B,\alpha) (т.е. задано (\alpha)). Обозначим также (t=A-B) и (u=\cos\frac{t}{2}) (тогда (u\in[\sin\frac{\alpha}{2},1])). Тогда все необходимые зависимости и экстремумы:

1) Локус вершины (C).
Вершина (C) лежит на двух симметричных относительно середины (AB) дугах окружности с хордой (AB) и радиусом
[
R_0=\frac{c}{2\sin\alpha},
]
центр находится на перпендикулярной биссектрисе (AB) на расстоянии
[
d=R_0\cos\alpha=\frac{c}{2\tan\alpha}
]
от середины (AB). (Две дуги — по разные стороны от отрезка.)

2) Описанная окружность треугольника.
По теореме синусов описанный радиус треугольника равен постоянной
[
R=\frac{c}{2\sin\alpha}=R_0
]
(не зависит от положения (C)).

3) Высота из (C) на (AB).
Площадь (S=\tfrac12 c h). Используя параметры (t) или (u),
[
h=\frac{2S}{c}=R_0(\cos t+\cos\alpha).
]
В терминах (u) (так как (\cos t=2u^2-1)):
[
h=R0(2u^2-1+\cos\alpha).
]
Экстремумы: (h{\min}=0) (при вырождении, (C\to A) или (C\to B)), (h{\max}) при симметричном треугольнике (A=B) (т.е. (t=0,u=1)):
[
h{\max}=R_0(1+\cos\alpha)=\frac{c}{2}\cot\frac{\alpha}{2}.
]

4) Площадь (S).
[
S=R0^2\sin\alpha(\cos t+\cos\alpha).
]
Экстремумы: (S{\min}=0) (вырождение), (S{\max}) при (A=B):
[
S{\max}=R_0^2\sin\alpha(1+\cos\alpha)=\frac{c^2}{4}\cot\frac{\alpha}{2}.
]

5) Полупериметр (s) (для использования при вписанном радиусе):
[
a+b=4R_0\cos\frac{\alpha}{2}\,u,\qquad c=2R_0\sin\alpha,
]
[
s=\frac{a+b+c}{2}=R_0\bigl(2\cos\frac{\alpha}{2}\,u+\sin\alpha\bigr).
]

6) Вписанный радиус (r).
Общее выражение через (u):
[
r=\frac{S}{s}=R0\cdot\frac{\sin\alpha\,(2u^2-1+\cos\alpha)}{2\cos\frac{\alpha}{2}\,u+\sin\alpha}.
]
Экстремумы: (r{\min}=0) при вырождении ((u=\sin\frac{\alpha}{2})), (r{\max}) при (A=B) ((u=1)):
[
r{\max}=R_0\cdot\frac{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}{2\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\alpha}
=\frac{c\cos\frac{\alpha}{2}}{2\bigl(1+\sin\frac{\alpha}{2}\bigr)}.
]

7) Краткие итоги о поведении (графики по параметру (u) или (t)):

(R) — константа (=\dfrac{c}{2\sin\alpha}). (h) и (S) монотонно возрастают с (u) и достигают максимума при симметричном треугольнике (A=B), минимальны (нулевые) при вырождении. (r) выражается дробно через (u), возрастает по (u), имеет минимум (0) и максимум при (A=B), значение (r_{\max}) дано выше.

(Для построения графиков удобно брать ось абсцисс (u=\cos\frac{A-B}{2}) или угол (t) и строить функции (h(u),S(u),r(u)) по данным формулам.)