Даны три непараллельные прямые (l_1,l_2,l_3). Итог: геометрическое место центров окружностей, касающихся всех трёх прямых, состоит не более чем из четырёх точек: центров вписанной и трёх вневписанных окружностей треугольника, если прямые не конкурируют; при конкуренции прямых нет ненулевой окружности, касающейся всех трёх.

Доказательство и разбор случаев (сжатно):

1) Случай конкуренции.
Если (l_1,l_2,l_3) пересекаются в одной точке (O), то центр любой окружности, равномерно удалённой от трёх прямых, должен лежать на биссектрисах углов, образованных этими прямыми; пересечение соответствующих биссектрис есть (O). Следовательно ненулевой радиус невозможен (единственный общий «центр» даёт (r=0)). Значит нет нетривиальных решений.

2) Общий случай — три прямые образуют треугольник.
Пусть вершины треугольника — (A=l_2\cap l_3), (B=l_3\cap l_1), (C=l_1\cap l_2). Центр окружности, касающейся двух пересекающихся прямых, лежит на одной из двух биссектрис угла между ними (внутренней или внешней). Поэтому центр окружности, касающейся всех трёх прямых, должен одновременно лежать на биссектрисах пар прямых, то есть быть пересечением трёх биссектрис, причём для каждой вершины можно выбрать внутреннюю или внешнюю биссектрису. Всего возможны четыре согласованных выбора (внутренняя для всех трёх даёт вписанный центр; один внутренний и две внешние — три вневписанных центра). Пересечение двух подходящих биссектрис однозначно задаёт точку центра, третья биссектриса автоматически проходит через неё (по равенству расстояний). Значит ровно до четырёх решений (обычно все различны).

Альтернативная алгебраическая формулировка: для центра (O) и радиуса (r>0) с направленными расстояниями к прямым можно записать
[
s_i\operatorname{dist}(O,l_i)=r,\qquad s_i=\pm1,\; i=1,2,3.
]
Вычитая пары уравнений получаем линейные уравнения (\operatorname{dist}(O,l_i)=\pm\operatorname{dist}(O,l_j)), т.е. уравнения биссектрис; совместными выборами знаков даются 4 совместимых системы.

Замечания о вырожденностях: при особых симметриях некоторые из четырёх центров могут совпадать (например при особых углах), но в общем — четыре различных точки.

Алгоритм построения (компас и линейка):

Построить вершины треугольника: (A=l_2\cap l_3), (B=l_3\cap l_1), (C=l_1\cap l_2).В каждой вершине построить внутреннюю и внешнюю биссектрисы угла ( \angle A, \angle B, \angle C) (стандартным способом через равные углы).Пересечение трёх внутренних биссектрис даёт центр вписанной окружности (I). Пересечение двух внешних (вместе с третьей внутренней соответствующей конфигурации) даёт три вневписанных центра (I_a,I_b,I_c).Радиус вычисляется как расстояние от центра до любой стороны (например (r=\operatorname{dist}(I,l_1))) и строится окружностью с найденным центром и радиусом.

Краткое заключение: если прямые не конкурентны, геометрическое место центров — ровно четыре точки: центр вписанной и три вневписанные окружности (возможны совпадения при симметриях). Если все три проходят через одну точку — ненулевых решений нет.