Кратко: оба способа (пересечение серединных перпендикуляров и решение линейной системы, полученной из равенства квадратов расстояний) по сути эквивалентны геометрически и страдают одинаковой основой неустойчивости — близким к вырождению треугольником (малой площадью). Практически же реализация через линейную систему с численно стабильным решателем обычно предпочтительнее; реализация через «склоны/углы» (вроде явных коэффициентов прямых) подвержена дополнительным проблемам деления и потере точности.

Детали и формулы

Пересечение серединных перпендикуляров (обычный геометрический способ): вычисляют середины и уравнения двух прямых-перпендикуляров к сторонам, затем их пересечение. При использовании уклонов прямых обычно встречается деление на малые разности координат.Линейная система из равенства квадратов расстояний. Для вершины A((x_1,y_1)), B((x_2,y_2)), C((x_3,y_3)) получаем (для центра ((x,y))):
[
|X-A|^2=|X-B|^2,\qquad |X-A|^2=|X-C|^2
]
что даёт линейную систему
[
2(B-A)\cdot X = |B|^2-|A|^2,\qquad 2(C-A)\cdot X = |C|^2-|A|^2.
]
В матричной форме (\,M X = b), где
[
M=2\begin{pmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1\ x_3-x_1 & y_3-y_1\end{pmatrix},\qquad
b=\begin{pmatrix} x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2\ x_3^2+y_3^2-x_1^2-y_1^2\end{pmatrix}.
]

Условие и неустойчивость

Определитель матрицы (M) связан с площадью треугольника:
[
\det M = 4\big((x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)\big).
]
Поскольку (|)это выражение(|=4\cdot) (векторный\;кросс) (=8\cdot)площадь, при малой площади (\det M\to 0) система плохо обусловлена.Ошибка в решении при возмущении правой части масштабируется примерно как (\kappa(M)\cdot\varepsilon), где (\kappa(M)) — число обусловленности матрицы; при почти коллинеарных точках (\kappa(M)) очень велико (приблизительно пропорционально (1/\sin\theta), где (\theta) — малый угол между векторами сторон), поэтому погрешности координат могут сильно усиливаться.

Сравнение практичности и устойчивости

Пересечение серединных перпендикуляров:
Плюсы: прямая геометрическая интерпретация, простота в концепте.Минусы: при реализации через углы/наклоны возникают деления на малые числа; больше ветвлений (вертикальные прямые); при численных ошибках вычисление уравнений прямых и их пересечения может давать худшую точность, чем решение аккуратно сформированной матрицы.Линейная система (прямой алгебраический способ):
Плюсы: матрица (M) компактно формулируется, легко применять стандартные устойчивые численные методы (LU с частичным выбором ведущего, QR, SVD). Детектирование вырождения просто через (|\det M|) или сингулярные значения.Минусы: при вырожденности те же фундаментальные проблемы; при плохой нормализации возможна потеря значащих цифр (решается центрированием/масштабированием).

Поведение при приближённых данных и при вырождении

Для трёх точек с шумом: решать лучше методом, устойчивым к машинным ошибкам — например QR-разложением или SVD решения (M X=b). Перед этим рекомендуется центрировать координаты (вычитать среднее или (A)), чтобы уменьшить вычитание больших близких чисел:
[
x_i' = x_i - \bar x,\quad y_i' = y_i - \bar y.
]Для более чем трёх точек (шумные наблюдения): однозначно использовать метод наименьших квадратов. Но простая алгебраическая линейная аппроксимация (линейное уравнение на основе квадратов) даёт смещённые оценки; предпочтительнее:
аппроксимации вроде Pratt/Taubin (алгебр.) для устойчивости и невысокой смещённости, илигеометрическая подгонка (минимизация ортогональных расстояний) с нелинейным решателем (Levenberg–Marquardt) для наилучшей точности.При почти коллинеарных точках: любые методы дают огромную ошибку центра (центр уходит «на бесконечность»). Надёжная реализация должна:
проверять малость (|\det M|) или малость наименьшего сингулярного значения ( \sigma_{\min}(M)),при (\sigma_{\min}) меньше порога сообщать о вырожденности или применять регуляризацию/ограничения (например, минимальное расстояние аппроксимации, априорную информацию о радиусе).При прямом треугольнике/треугольнике с центром за пределами фигуры: оба метода корректны и дают центр вне треугольника; численно проблем не добавляют (если треугольник не вырожден).

Рекомендации по реализации

Не используйте формулы через наклоны прямых; стройте матрицу (M) как выше и решайте с QR/LU(с частичной) или SVD.Центрируйте и масштабируйте координаты перед вычислением, чтобы снизить потерю значащих цифр.Для шумных множеств точек используйте специализированные методы подгонки окружности (Pratt/Taubin или геометрическая МНК).Контролируйте и сообщайте вырожденность через малые сингулярные значения или детерминант; не пытайтесь делить на ноль.

Краткое резюме

Геометрически оба метода эквивалентны и имеют одинаковую фундаментальную неустойчивость при малой площади треугольника.На практике надёжнее реализовать алгебраический линейный подход с хорошим численным решателем и нормализацией, избегая явных вычислений наклонов прямых.Для шумных данных и/или более чем трёх точек применять методы МНК (алгебрические или геометрические) и проверять обусловленность.