Кратко и по существу — что сохраняется при аффинных и проективных преобразованиях, с примерами и выводами для моделирования.

Общие замечания (топология)

Аффинные и проективные преобразования — биективные регулярные отображения соответствующей плоскости (аффинной или проективной), поэтому сохраняют топологические свойства: связность, число компонент, компактность (в рамках той самой пространства: проективная плоскость ↔ проективная плоскость). При рассмотрении аффинной плоскости как часть проективной, проективное отображение может «переместить» точки на бесконечность (т.е. не быть гомеоморфизмом аффинной плоскости в себя), но в проективном контексте — гомеоморфизм.

Что сохраняет аффинное преобразование (линейное + сдвиг)

Сохраняется коллинеарность и конкурентность: прямые → прямые; три коллинеарные точки остаются коллинеарными.Сохраняется параллельность и линия бесконечности (параллельные прямые остаются параллельными).Сохраняются аффинные отношения: барицентрические координаты, деление отрезка в фиксированном отношении, середины.Сохраняется крестовое отношение (cross-ratio) для четырёх коллинеарных точек (аффин ⊂ проектive, значит крест-отношение инвариантно).Площади: абсолютные площади масштабируются постоянным множителем (|\det A|); значит отношение площадей двух фигур сохраняется.Углы и длины в общем не сохраняются (только при дополнительном условии — ортogonality/равномерное масштабирование → similarity).Коники переводятся в коники; тип коники (эллипс / парабола / гипербола) сохраняется (потому что линия на бесконечности инвариантна): эллипс → эллипс, окружность → обычно эллипс, парабола → парабола.

Примеры для аффинных:

Окружность (x^2+y^2=1) при отображении ((x,y)\mapsto (ax,by)) даёт эллипс (\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1).Эллипс под любой невырожденной аффинной матрицей остаётся эллипсом (изменяются оси и размеры).Парабола (y=x^2) при сдвиге/масштабе/сдвиге по оси остаётся параболой: при аффинном преобразовании общего вида сохраняется «параболический» класс.Треугольник → треугольник; отношения отрезков на одной прямой и центроиды сохраняются; площадь множится на (|\det A|).

Что сохраняет проективное преобразование (общая проектия)

Сохраняются инцидентные свойства: точки и прямые, коллинеарность и конкурентность.Сохраняется крестовое отношение четырёх коллинеарных точек: ((A,B;C,D)=\dfrac{AC/BC}{AD/BD}) инвариантно.Прямые → прямые; коники → коники (любая невырожденная коника в проективной плоскости приводима к любой другой невырожденной конике проектией).Параллельность не сохраняется (параллельные прямые могут переходить во встречающиеся в точке на бесконечности или в обычную точку).Длины, углы, площади — не сохраняются (в общем случае нет даже постоянного множителя для площади).Классы коник перестают быть инвариантными: окружность может быть превращена в параболу или гиперболу (в аффинной «петле» это выглядит как пересечение с линией на бесконечности).

Примеры для проективных:

Существует проекция (P) такая, что окружность превращается в параболу или гиперболу (в проективной плоскости все невырожденные коники эквивалентны).Треугольник → треугольник; при проектии сохраняются отношения типа гармонического деления и крест-отношение для точек на прямой, но не длины/углы.Перспектива камеры — пример проективной модели: прямые в сцене → прямые на изображении, vanishing points (точки схода) — проективные образы направлений.

Инаварианты и изменяемые величины (сводно)

Сохраняется (аффин): коллинеарность, параллельность, середины, деление отрезка по фиксированному отношению, барицентрические координаты, отношение площадей двух фигур (потому что оба множатся на один и тот же (|\det A|)), коника → коника, тип коники — да.Сохраняется (проектive): коллинеарность, конкурентность, крест-отношение, инцидентные свойства, коника → коника (но тип может измениться при рассмотрении аффинного сечения).Не сохраняется (ни аффин, ни проектive в общем): длины, углы (только similarity / isometry сохраняют), абсолютные площади (проектия не даёт общего множителя), параллельность (не сохраняется проектией).

Выводы о применимости в задачах моделирования

Когда важно сохранять параллельность и относительные линейные пропорции (инженерия, САПР, линейная деформация, вычисление центра масс, отношения площадей) — применяйте аффинную модель. Примеры: моделирование растяжения/сжатия/сдвига материала; приведение параллельных структур.Когда нужно моделировать перспективу, камеру, видимость, точки схода, или когда важны инцидентные и проективные отношения (vanishing points, крест-отношение для метрики на фото) — применяйте проективную модель. Проектия полезна для фотометрии, восстановления геометрии сцены по изображению (камера как проекция).Если требуется сохранить углы и масштаб (геометрия в натуральную величину) — использовать изометрии/подобия (подмножества аффинных).Практический рецепт (часто в компьютерном зрении): сначала проектией выполнить перспективную коррекцию (например сделать линию горизонта на бесконечности → аффинная ректификация), затем аффинными преобразованиями восстановить метрические пропорции; для окончательного восстановления углов/длин требуется дополнительные условия (изометрия).

Короткое напоминание по коникам

Аффин: окружность (\to) эллипс; эллипс (\to) эллипс; парабола (\to) парабола.Проектив: окружность (\to) любая невырожденная коника (включая параболу, гиперболу).

Если нужно — могу привести конкретные матрицы-примеры для каждого случая (аффинная диагональная, сдвиг, проективная 3×3), либо показать численную иллюстрацию для заданных фигур.