Ответ.

1) Утверждение.

Если в треугольнике (ABC) хотя бы один угол, скажем (\angle A), удовлетворяет (\angle A\ge 120^\circ), то точка (P), минимизирующая сумму (PA+PB+PC), совпадает с вершиной (A).Если все углы (<120^\circ), то единственная точка минимума — внутренняя точка (F) (точка Ферма–Торричелли), для которой углы между отрезками к вершинам равны (120^\circ): (\angle BFC=\angle CFA=\angle AFB=120^\circ).

2) Аналитическое обоснование (общая необходимая условие).
Для гладкой точки минимума (P) векторный градиент равен нулю, откуда получаем
[
\frac{\overrightarrow{PA}}{|\overrightarrow{PA}|}+\frac{\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{PB}|}+\frac{\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{PC}|}=0.
]
Это векторное равенство эквивалентно тому, что три направляющих вектора образуют равносторонний треугольник, следовательно попарные углы между отрезками (PA,PB,PC) равны (120^\circ). Если такое (P) существует внутри треугольника (возможность лишь при всех углах треугольника (<120^\circ)), то это и есть точка минимума и она единственна (функция суммы расстояний строго выпукла).

Если некоторый угол, например (\angle A\ge 120^\circ), то внутренней точки, дающей три угла по (120^\circ), не существует (нельзя расположить три луча из одной точки так, чтобы они указывали в направлениях на вершины и одновременно давали по (120^\circ) при заданной геометрии), поэтому стационарной внутренней точки нет, минимум достигается на границе; проверка показывает, что среди граничных точек минимум достигается в вершине с углом (\ge120^\circ).

3) Геометрические способы нахождения точки минимума (случай всех углов (<120^\circ)).

Классическая конструкция с равносторонними треугольниками (через поворот на (60^\circ)):

Постройте на сторонах (AB) и (AC) внешние равносторонние треугольники (ABB_1) и (ACC_1).Соедините вершину (B_1) с (C) и вершину (C_1) с (B).Прямые (B_1C) и (C_1B) пересекаются в точке (F) — это точка Ферма: для неё (\angle BFC=\angle CFA=\angle AFB=120^\circ).
Доказательство строится через поворот на (60^\circ): поворот треугольника вокруг (A) на (60^\circ) переводит (B) в (B_1); тогда минимальность пути (PB+PC) при фиксированном (PA) достигается при коллинеарности (P,B_1,C), что даёт требуемые (120^\circ).

Альтернативная конструкция: из каждой вершины провести лучи внутрь треугольника так, чтобы между ними было по (120^\circ); пересечение всех трёх таких именуемых лучов даёт ту же точку Ферма (на практике строят два из них).

4) Аналитический метод (координатный / численный).

В координатах задайте (f(x,y)=\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2}+\sqrt{(x-x_B)^2+(y-y_B)^2}+\sqrt{(x-x_C)^2+(y-y_C)^2}).Найдите стационарные точки решая систему градиентных уравнений
[
\sum_{X\in{A,B,C}}\frac{(x-x_X,\;y-y_X)}{\sqrt{(x-x_X)^2+(y-y_X)^2}}=(0,0).
]
Решение даёт либо вершину (если какой-то угол (\ge120^\circ)), либо внутреннюю точку с углами (120^\circ). Для численных вычислений удобно применять метод Ньютона или градиентный спуск; условие единственности и выпуклости обеспечивает сходимость к единственному минимуму.

Кратко: при наличии угла (\ge120^\circ) минимум в вершине этого угла; иначе единственная внутренняя точка Ферма, которую можно построить через внешние равносторонние треугольники или найти из условия суммы единичных векторов равна нулю (углы (120^\circ)).