Задача (конкретная, прикладная). В робототехнике / машиностроении: нужно проложить дугу инструмента или траекторию манипулятора, которая проходит через заданную точку (P) и касается (огибает) двух круглых препятствий/отверстий (C_1,C_2) (центры (O_1,O_2), радиусы (R_1,R_2)). Ищем окружность (S), проходящую через (P) и касательную к обоим (C_i). Применение: автоматическое вычисление филе/переходной дуги между двумя отверстиями, планирование траектории инструмента безопасной обводки, прокладка подвижного элемента на фасаде и т.п.

Математическая модель (неинвертированная). Окружность (S) с центром (Q) и радиусом (r) должна удовлетворять
( |Q-P|=r ) (проходит через (P)),
касательность к (C_i): ( |Q-O_i|=r\pm R_i ) (знак + для внешней касательности, − для внутренней).
Это система нелинейных уравнений для (Q,r).

Идея: инверсия относительно круга с центром в (P) (радиус (\rho)) переводит любую окружность, проходящую через (P), в прямую. Следовательно искомая окружность (S) преобразуется в прямую (l'), а исходные препятствия (C_i) превращаются в окружности (C_i'). Тогда задача сводится к построению общей касательной к двух окружностям — простая геометрия.

Шаги и формулы.

1) Инверсия с центром (P) и радиусом (\rho). Для точки (X\neq P) образ (X') лежит на луче (PX) и
( |PX'|=\dfrac{\rho^2}{|PX|}. )

2) Образы исходных окружностей (C_i(O_i,R_i)), если (d_i:=|P O_i|\neq R_i) (т.е. (C_i) не проходит через (P)):
образы (C_i') — окружности с центрами на лучах (P O_i). Их параметры:
[
d_i'=\frac{\rho^2 d_i}{d_i^2-R_i^2},\qquad
R_i'=\frac{\rho^2 R_i}{|d_i^2-R_i^2|},
]
где (d_i'=|P O_i'|). (Если (d_i=R_i), то (C_i') — прямая.)

3) Искомая (S) (проходящая через (P)) -> прямая (l'), касательная к (C_1',C_2'). Пусть в координатах с началом в (P) центры образов — (A=O_1',\;B=O_2'), радиусы (r_1'=R_1',\;r_2'=R_2'), расстояние (d=|B-A|). Для внешней касательности существует условие
[
|r_1'-r_2'|\le d,
]
иначе общих касательных соответствующего типа нет.

Нахождение уравнений двух внешних касательных (приближённо):
[
\alpha=\arccos\frac{r_1'-r2'}{d},\qquad
e=\frac{B-A}{d},\qquad e\perp=(-e_y,ex).
]
Нормали к искомым прямым:
[
n\pm=\cos\alpha\,e\pm\sin\alpha\,e\perp,\qquad c\pm=n_\pm\cdot A + r1'.
]
Тогда прямые заданы как
[
n\pm\cdot x = c_\pm.
]

4) Обратная инверсия прямой (n\cdot x = c) (в координатах с началом в (P), (|n|=1), (c\neq0)) даёт окружность, проходящую через (P), с центром и радиусом
[
Q = P + \frac{\rho^2}{2c}\, n,\qquad r=\frac{\rho^2}{2|c|}.
]
(Эта окружность автоматически проходит через (P).)

Таким образом для каждой найденной касательной (n\pm\cdot x=c\pm) получаем кандидата на (S).

Ограничения и вырожденные случаи.

Если какой-то (C_i) проходит через (P) ((d_i=R_i)), то его образ — прямая; тогда задача превращается в "найти прямую, касающуюся окружности и параллельную данной" — решается отдельно. Если обе исходные окружности проходят через (P), задача сводится к поиску прямой, касательной к двух прямых (вырождено или бесконечный набор).Нет решений, если требуемая конфигурация касательности невозможна (например, препятствия перекрывают область так, что окружность через (P) не может касаться обоих) — это проявится в том, что не существует общей касательной (условие с (|r_1'-r_2'|) или треугольные неравенства дают комплексные углы).Чувствительность: численно плохо себя ведёт, когда (d_i^2-R_i^2) близко к нулю (т.е. (P) близко к касательной позиции к (C_i)): тогда (d_i',R_i') становятся большими и малые ошибки усиливаются. Также плохо, когда (C_1') и (C_2') почти касаются (угол (\alpha\approx 0)) — вычисление нормалей теряет точность.

Численные рекомендации для реализации.

Перед инверсией сдвинуть координаты так, чтобы (P) в начале; выбрать (\rho) так, чтобы образы (C_i') имели «умеренные» размеры (например, (\rho) порядка среднего расстояния (\sqrt{d_i^2-R_i^2}) или просто 1, но избегать слишком маленьких/больших масштабов).Обрабатывать отдельно случаи (d_i\approx R_i) (использовать предельный алгоритм: прямые вместо окружностей).Проверять условие существования касательных (реальность (\alpha)); использовать защиту от деления на ноль и пороги eps.При чувствительных конфигурациях применять повышенную точность (long double, arbitrary precision) или алгоритмы с точными предикатами (CGAL, Shewchuk), и выполнять корректирующую проверку: полученное (Q,r) вставить в исходные уравнения и уточнить итеративно при необходимости.Алгоритмическая сложность константная (неколько арифметических операций и функций), подходит для быстрых вычислений в CAD/CAM и реальном времени при соблюдении правил численной устойчивости.

Коротко об эффективности: инверсия превращает нелинейную систему (двойная касательность + проход через точку) в линейную задачу (поиск прямой, касательной к двум окружностям); это даёт явные формулы и экономит численные итерации, но требует аккуратности при вырождениях и выборе масштаба инверсии.