Кратко и по делу.

1) Обозначения. Пусть центры окружностей (O_1,O_2), радиусы (r_1,r_2), расстояние между центрами (d=O_1O_2). Различают прямые (внешние, или «директные») общие касательные и поперечные (внутренние) общие касательные.

2) Условия существования (число касательных)

Если (d>r_1+r_2) — 4 общие касательные (2 внешние + 2 внутренние).Если (d=r_1+r_2) — 3 касательные (две внешние и одна вырожденная внутренняя).Если (|r_1-r_2|<d<r_1+r_2) — 2 касательные (только 2 внешние).Если (d=|r_1-r_2|) — 1 касательная (внутренняя вырождается в касательную в точке соприкосновения).Если (d<|r_1-r_2|) — 0 общих касательных (одна окружность вложена в другую без касания).
Специальные случаи: если (d=0) и (r_1=r_2) — совпадающие окружности (много касательных); если (d>0) и (r_1=r_2) — внешние касательные параллельны (центр внешней гомотетии на бесконечности).

3) Алгебраическая форма для линий-касательных (в системе с (O_1=(0,0),\,O_2=(d,0))). Рассмотрим прямую (y=mx+b). Для касания к первой окружности требуется
[
\frac{|b|}{\sqrt{1+m^2}}=r_1,
]
для второй
[
\frac{|md+b|}{\sqrt{1+m^2}}=r_2.
]
Положения знаков дают два варианта: для внешних касательных знаки совпадают, для внутренних — противоположны. В аналитическом виде для знаков (s_1,s_2\in{\pm1}) имеем
[
b=s_1 r_1\sqrt{1+m^2},\qquad md+b=s_2 r_2\sqrt{1+m^2},
]
откуда
[
m^2=\frac{(s_2r_2-s_1r_1)^2}{d^2-(s_2r_2-s_1r_1)^2}.
]
Из этого видно условия существования: для внутренних касательных требуется (d>r_1+r_2) (параметр (s_2r_2-s_1r_1=\pm(r_1+r_2))), для внешних — (d>|r_1-r_2|) (параметр (\pm(r_2-r_1))).

4) Положение точек касания. Для найденной прямой (y=mx+b) точка касания на окружности (O_1) есть проекция центра на касательную:
[
T_1=\Bigl(-\frac{mb}{1+m^2},\;\frac{b}{1+m^2}\Bigr).
]
Подставляя (b=s_1 r_1\sqrt{1+m^2}), получаем удобную запись
[
T_1=s_1 r_1\Bigl(-\frac{m}{\sqrt{1+m^2}},\;\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}\Bigr).
]
Аналогично для второй окружности (с учётом центра (O_2=(d,0)) и знака (s_2)):
[
T_2=O_2+s_2 r_2\Bigl(-\frac{m}{\sqrt{1+m^2}},\;\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}\Bigr).
]
То есть векторные направления (O_1T_1) и (O_2T_2) параллельны и пропорциональны радиусам — отсюда следует гомотетичность касательных точек.

5) Центры гомотетии (центры подобия). Существуют два центра подобия окружностей:

внутренний (симилитуда внутренней гомотетии), лежит на отрезке (O_1O_2) и делит его в отношении
[
O1H{\mathrm{int}}:H_{\mathrm{int}}O_2=r_1:r_2,
\qquad O1H{\mathrm{int}}=\frac{r_1}{r_1+r_2}\,d.
]внешний (симилитуда внешней гомотетии), делит (O_1O_2) внешне:
[
O1H{\mathrm{ext}}:H_{\mathrm{ext}}O_2=r_1:-r_2,
\qquad O1H{\mathrm{ext}}=\frac{r_1}{r_1-r_2}\,d\quad(r_1\ne r2).
]
Геометрически: пересечение двух внешних касательных даёт (H{\mathrm{ext}}), пересечение двух внутренних — (H_{\mathrm{int}}). Если (r_1=r2), то (H{\mathrm{ext}}) «уходит на бесконечность» (внешние касательные параллельны), а (H_{\mathrm{int}}) — середина (O_1O_2).

6) Поведение конфигурации при изменении (d) (фиксируя (r_1,r_2)) — кратко:

При уменьшении (d) от большого значения сначала существуют 4 касательных.На момент (d=r_1+r_2) две внутренние касательные сливаются в одну (касание внешними сторонами в одной точке) → число касательных падает до 3.При дальнейшем уменьшении (d) (пересечение окружностей) внутренние касательные исчезают, остаются только 2 внешние.При приближении к (d=|r_1-r_2|) эти две внешние касательные сливаются в одну (внутренняя касательность при вложении) → 1 касательная.При (d<|r_1-r_2|) общих касательных нет.
Одновременно положения точек касания и центров гомотетии плавно смещаются по формулам пункта 4–5; при вырождении (равенстве сумм/разности радиусов) соответствующие пары касательных сходятся в одну и центры гомотетии переходят в предельные положения (внешний в бесконечность при (r_1=r_2)).

7) Заключение (коротко). Все касательные строятся через центры гомотетии: провести из (H{\mathrm{int}}) касательные к одной окружности (две) — они будут внутренними общими; провести из (H{\mathrm{ext}}) — будут внешними. Условия существования всех типов выражаются через сравнение (d) с (r_1\pm r_2) (см. п.2), а явные координаты касательных и точек касания даются формулами пункта 3–4.