Уточнение: пусть $A_1$ — середина стороны $BC$, $B_1$ — середина $CA$, $C_1$ — середина $AB$. Утверждение: площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ равна четверти площади $ABC$,
$$[S_{A_1{B}_1{C}_1}]=\frac{1}{4}[S_{ABC}].$$
1) Синтетическое доказательство (средние линии, подобие).
Сегмент, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и вдвое короче её. Значит
$$A_1{B}_1\parallel AB,B_1{C}_1\parallel BC,C_1{A}_1\parallel CA,$$ и $A_1{B}_1{C}_1$ подобен $ABC$ с коэффициентом сходства $\frac{1}{2}$. Площадь при гомотетии масштабируется как квадрат коэффициента, следовательно
$$[S_{A_1{B}_1{C}_1}]={\left(\frac{1}{2}\right)}^2[S_{ABC}]=\frac{1}{4}[S_{ABC}].$$
2) Координатный метод.
Пусть $A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2),C=(x_3,y_3)$. Тогда
$$A_1=\frac{B+C}{2},B_1=\frac{C+A}{2},C_1=\frac{A+B}{2}.$$ Площадь через определитель: [SABC]=12∣det⁡(B−A, C−A)∣[S_{ABC}]=\tfrac12\big|\det(B-A,\;C-A)\big|[SABC ]=21 det(B−A,C−A) . Тогда
[SA1B1C1]=12∣det⁡(B1−A1, C1−A1)∣=12∣det⁡ ⁣(B−A2, C−A2)∣=18∣det⁡(B−A, C−A)∣=14[SABC]. [S_{A_1B_1C_1}] = \tfrac12\big|\det(B_1-A_1,\;C_1-A_1)\big|
= \tfrac12\big|\det\!\big(\tfrac{B-A}{2},\;\tfrac{C-A}{2}\big)\big|
= \tfrac1{8}\big|\det(B-A,\;C-A)\big|
= \tfrac14 [S_{ABC}].
[SA1 B1 C1 ]=21 det(B1 −A1 ,C1 −A1 ) =21 det(2B−A ,2C−A ) =81 det(B−A,C−A) =41 [SABC ].
3) Векторный / гомотетия.
Обозначим вектора позиций через $A,B,C$. Тогда
$$A_1=\frac{B+C}{2},\text{и}{B}_1-A_1=\frac{B-A}{2},C_1-A_1=\frac{C-A}{2}.$$ Площадь (модуль векторного произведения) дает тот же масштаб:
[SA1B1C1]=12∣(B⃗1−A⃗1)×(C⃗1−A⃗1)∣=18∣(B⃗−A⃗)×(C⃗−A⃗)∣=14[SABC]. [S_{A_1B_1C_1}]=\tfrac12\big|(\vec B_1-\vec A_1)\times(\vec C_1-\vec A_1)\big|
=\tfrac1{8}\big|(\vec B-\vec A)\times(\vec C-\vec A)\big|
=\tfrac14 [S_{ABC}].
[SA1 B1 C1 ]=21 (B1 −A1 )×(C1 −A1 ) =81 (B−A)×(C−A) =41 [SABC ]. Альтернативно: $A_1{B}_1{C}_1$ — образ $ABC$ при гомотетии с центром в центре масс (центроиде) и коэффициентом $-\frac{1}{2}$, откуда площадь уменьшается в $(\frac{1}{2}{)}^2$.
Короткое резюме методов и их преимущества:
- Синтетический: наглядный, короткий, не требует вычислений, хорош для олимпиадных доказательств.
- Координатный: прямой и общий, удобен для конкретных вычислений и для случаев с дополнительными условиями (числовые параметры).
- Векторный/линейно-алгебраический: компактный, удобен при работе с преобразованиями, ориентированными площадями и обобщениями на более высокие размерности.
Во всех подходах получается одно и то же простое соотношение $[S_{A_1{B}_1{C}_1}]=\frac{1}{4}[S_{ABC}]$.