Короткий ответ: плоскость $KLM$ всегда параллельна грани $BCD$ (грани, противоположной вершине $A$). Параллельность какой‑либо другой грани возможна лишь в вырожденном случае (все четыре вершины в одной плоскости).
Доказательство (кратко). Пусть заданы векторные положения вершин $A,B,C,D$. Тогда
$$K=\frac{A+B}{2},L=\frac{A+C}{2},M=\frac{A+D}{2}.$$ Рассмотрим гомотетию с центром в $A$ и коэффициентом $\frac{1}{2}$: она переводит точки $B,C,D$ в $K,L,M$. Следовательно образ плоскости $BCD$ при этой гомотетии есть плоскость $KLM$; значит плоскости $BCD$ и $KLM$ параллельны (даже подобны) и $KLM$ расположена на «половинном» расстоянии от $A$.
Необходимые и достаточные условия для параллельности другим граням:
- Для грани, содержащей $A$ (например, $ABC$), плоскость $KLM$ пересекает эту грань по отрезку $KL$. Две различные плоскости не могут иметь общий отрезок и быть параллельны, поэтому $KLM$ будет параллельна грани $ABC$ только если она совпадает с ней, т.е. только в вырожденном случае $D\in$ плоскости $ABC$ (аналогично для граней $ABD$ и $ACD$).
- Итого: необходимое и достаточное условие, чтобы $KLM$ была параллельна грани $BCD$ — нет дополнительных условий (всякий тетраэдр). Чтобы $KLM$ была параллельна любой другой грани — необходимо и достаточно, чтобы тетраэдр был вырожден (четыре точки лежали в одной плоскости).
Примеры:
- Общий случай: $A=(0,0,0),B=(2,0,0),C=(0,3,0),D=(0,0,4)$. Тогда $K=(1,0,0),L=(0,1.5,0),M=(0,0,2)$. Плоскость $KLM$ — гомотетический образ плоскости $BCD$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$.
- Вырожденный случай: $A,B,C,D$ лежат в одной плоскости. Тогда $KLM$ совпадает с этой общей плоскостью и потому «параллельна» (совпадает с) любой грани.