Пусть середина хорда обозначена $M(X,Y)$. Для окружности с центром в начале координат и радиусом $2$ уравнение хорды с серединой $(X,Y)$ задаётся как
$$Xx+Yy=X^2+Y^2.$$ Эта прямая должна совпадать с данной прямой $y=kx+1$, т.е. коэффициенты пропорциональны. Перепишем данную прямую в виде
$$kx-y+1=0.$$ Сравнивая тройки коэффициентов $(X,Y,-(X^2+Y^2))$ и $(k,-1,1)$, найдём число $\lambda$ такое, что
$$X=\lambda k,Y=-\lambda ,-(X^2+Y^2)=\lambda .$$ Из $Y=-\lambda$ получаем $\lambda =-Y$, тогда $X=-kY$ и из последнего равенства
$$X^2+Y^2=Y.$$ Это уравнение эквивалентно
$$X^2+(Y-\frac{1}{2}{)}^2=\frac{1}{4},$$ то есть геометрическое место середин — окружность с центром $(0,\frac{1}{2})$ и радиусом $\frac{1}{2}$.
Параметризация через $k$ даёт координаты середин:
$$X=-\frac{k}{k^2+1},Y=\frac{1}{k^2+1}.$$ Отсюда зависимость от $k$: при $k\in \mathbb{R}$ образуются все точки указанной окружности с $Y>0$ (при $k=0$ — верхняя точка $(0,1)$); точка $(0,0)$ (нижняя точка окружности) достигается лишь в пределе $k\to \pm \infty$. Замечание: прямая $y=kx+1$ всегда пересекает окружность в двух точках (она никогда не является касательной), поэтому для всех конечных $k$ хорды ненулевой длины.