Построим треугольник по данным длинам медиан $m_a,m_b,m_c$ (медиана $m_a$ — из вершины $A$ и т.д.). Кратко: из формул для медиан получают однозначные выражения для $a,b,c$ (длин сторон исходного треугольника), затем стандартно строят треугольник со сторонами $a,b,c$. Далее шаги, доказательство и вырожденные случаи.
1) Необходимая проверка.
- Если хотя бы одно из чисел $m_a,m_b,m_c$ не положительно или не выполняются неравенства треугольника
$$m_a<m_b+m_c,m_b<m_c+m_a,m_c<m_a+m_b,$$ то треугольник по таким медианам не существует (вырожден или невозможен). (Эти неравенства необходимы; см. ниже — они совместимы с достаточностью.)
2) Вывод формул для сторон.
Из формулы медианы
$$4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2$$ и циклических аналогов решаем систему линейных уравнений. В результате получаем (удобная симметричная форма)
$$a^2=\frac{4(2(m_b^2+m_c^2)-m_a^2)}{9},b^2=\frac{4(2(m_c^2+m_a^2)-m_b^2)}{9},c^2=\frac{4(2(m_a^2+m_b^2)-m_c^2)}{9}.$$ (Короткое получение: сначала $S=a^2+b^2+c^2=\frac{4}{3}(m_a^2+m_b^2+m_c^2)$, затем из $4m_a^2=2(S-a^2)-a^2$ выводится формула для $a^2$.)
3) Проверка существования ненулевых сторон.
- Для существования невырожденного треугольника требуется, чтобы правые части были положительны (т.е. $a^2>0,b^2>0,c^2>0$) и чтобы полученные $a,b,c$ удовлетворяли неравенствам треугольника
$$a<b+c,b<c+a,c<a+b.$$ (Если одно из равенств превращается в равенство, получается вырожденный (выроженн.) треугольник по коллинеарности.)
4) Геометрическое построение (линейка и циркуль).
- Построить отрезки длины $m_a,m_b,m_c$ (даны).
- Построить числа $m_a^2,m_b^2,m_c^2$, их суммы и комбинации $2(m_b^2+m_c^2)-m_a^2$ и т.д. (все арифметические операции и извлечение квадратного корня делаются стандартными при помощи подобия и построения длины $\sqrt{x}$ — эти операции доступны циркулем и линейкой).
- Построить отрезки длины $a=\sqrt{a^2},b=\sqrt{b^2},c=\sqrt{c^2}$.
- Построить треугольник со сторонами $a,b,c$ обычным способом (на прямой откладывают $a$, затем описывают окружности радиусов $b,c$ и берут точку пересечения).
Замечание: все упомянутые алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение на рациональные константы, извлечение квадратного корня) выполняются с помощью циркуля и линейки.
5) Доказательство корректности и единственности.
- Корректность: полученные $a,b,c$ удовлетворяют исходной системе (см. вывод формул), поэтому построенный треугольник действительно имеет заданные медианы (проверяется подстановкой в формулы медиан).
- Единственность: из уравнений для медиан получаем линейную систему относительно $a^2,b^2,c^2$ с единственным решением, значит величины $a^2,b^2,c^2$ (и, положительные корни $a,b,c$) однозначно определены. Треугольник с заданными сторонами определён однозначно с точностью до перемещения и поворота (т.е. до конгруэнтности). Значит треугольник по трём медианам единственен с точностью до конгруэнтности (если существует).
6) Вырожденные и краевые случаи.
- Если для какого-то $a^2$ правая часть равна нулю, то соответствующая сторона равна нулю — геометрически это вырожденный случай (все три точки лежат на одной прямой); исходные медиа­ны тогда удовлетворяют калькуляциям, дающих коллинеарность.
- Если какое‑то выражение под корнем отрицательно или полученные $a,b,c$ не удовлетворяют треугольнику, то треугольник с такими медианами не существует.
- Частный случай: если $m_a,m_b,m_c$ образуют вырожденный треугольник (например $m_a=m_b+m_c$), то исходный треугольник также вырожден (все вершины коллинеарны).
- Симметрия: перестановка меток медиан меняет только соответствие сторон, но не меняет существование: медианы заданы как набор трёх чисел, им соответствует единственный (до конгруэнтности) исходный треугольник.
Краткая сводка:
- Алгоритм: проверить треугольные неравенства для медиан → вычислить $a^2,b^2,c^2$ по формулам выше → построить $a,b,c$ циркулем и линейкой → построить треугольник со сторонами $a,b,c$.
- Существование эквивалентно положительности полученных $a^2,b^2,c^2$ и выполнению неравенств треугольника; решение единственно с точностью до конгруэнтности; вырожденные случаи соответствуют нулевым или несоответствующим значениям в формулах.
Если нужно, могу привести подробную чисто геометрическую реализацию операций умножения/сложения/извлечения корня для построения $a$ из данных $m$.