Теорема синусов (в любой треугольнике $ABC$): $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, где $a=BC,b=CA,c=AB,R$ — радиус описанной окружности.
Доказательства.
1) Синтетическое (через описанную окружность).
Пусть $O$ — центр описанной окружности, радиус $R$. Угол при вершине $A$ как вписанный равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $\angle BOC=2A$. В треугольнике $BOC$ хорда $BC=a$ связана с радиусом и половинным центральным углом:
$$a=2R\sin A.$$ Аналогично для остальных сторон, отсюда $\frac{a}{\sin A}=2R$ и т.д.
2) Через векторы (через площадь / векторное (внешнее) произведение).
Площадь $\Delta$ треугольника можно записать через две стороны и синус угла между ними:
$$\Delta =\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C.$$ Из равенств $bc\sin A=ca\sin B=ab\sin C$ следует деление на $\sin A\sin B\sin C$ и, в частности, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$ Если дополнительно ввести формулу для радиуса описанной окружности через площадь $\Delta =\frac{abc}{4R}$, то получаем общую равность $=2R$.
3) Через комплексные числа (или координаты на окружности).
Поместим вершины на описанную окружность радиуса $R$. Пусть аргументы точек $B,C$ отличаются на $2A$. Тогда, пользуясь тем, что длина хорды через углы центра выражается как разность комплексных экспонент, получаем (на окружности радиуса $R$)
a=∣ReiθB−ReiθC∣=R⋅∣eiθB−eiθC∣=2R∣sin⁡θB−θC2∣=2Rsin⁡A. a=|Re^{i\theta_B}-Re^{i\theta_C}|=R\cdot|e^{i\theta_B}-e^{i\theta_C}|=2R\Big|\sin\frac{\theta_B-\theta_C}{2}\Big|=2R\sin A.
a=∣ReiθB −ReiθC ∣=R⋅∣eiθB −eiθC ∣=2R sin2θB −θC =2RsinA. Аналогично для $b,c$, откуда снова $\frac{a}{\sin A}=2R$.
Краткое сопоставление методов.
- Простота: 1 (синтетическое через описанную окружность) — самый короткий и интуитивный; 2 (вектор/площадь) — тоже простой и часто применяемый; 3 (комплекс) требует знания комплексной нотации, но даёт очень компактную формулу.
- Общность: векторный/площадной подход наиболее «общий» — легко переносится в векторную алгебру, аналитические вычисления и в многомерные обобщения площадей; комплексный хорошо работает при задачах с поворотами и симметриями; синтетический — специфичен для евклидовой плоскости и свойств окружности.
- Применимость в задачах: синтетическое и комплексное — удобны в чистой геометрии (длины через дуги, симметрии); вектор/площадь — удобен, когда нужно обобщать, считать площади, работать с координатами и алгебраическими преобразованиями.
Все три подхода часто комбинируют в решениях в зависимости от удобства.