Кратко и по делу — какие формы и почему выбираются при заданном пролёте $L$, подъёме (высоте) $H$ и ограничении угла опор.
1) Критерий «минимум материала (минимум изгибающих моментов → чистое сжатие)»
- Если доминирует собственный вес (нагрузка распределена по длине по дуге) — лучшая форма: перевёрнутая катенара.
Формула (с симметрией, низшая точка в середине): $y=a(\cosh (x/a)-1)$, где параметр $a$ выбирается из уравнения для заданного подъёма: $a\left(\cosh \right(\frac{L}{2a})-1)=H.$
Причина: катенара — форма висящей цепи, инвертированная она работает главным образом в осевом сжатии под собственным весом, минимизируя изгибы и объём материала при прочих равных.
- Если доминирует равномерно распределённая вертикальная нагрузка (нагрузка по горизонтальной проекции — кровля, покрытие) — оптимальна парабола.
Стандартный вид для симметричного пролёта: $y=H-\frac{4H}{L^2}{x}^2.$
Причина: парабола — функтмическая линия для равномерной вертикальной нагрузки; параболическая арка при правильной расчётной горизонтальной реакции несёт нагрузку в основном в осевом сжатии (минимум изгиб. моментов).
2) Критерий «равномерное распределение усилий / простая расчётная опора»
- Функториальные формы (катенара при весе по дуге, парабола при вертикальной нагрузке) дают наилучшее распределение нормальных усилий. Для получения практически равномерного напряжения толщину стенки арки делают пропорциональной осевому усилию вдоль дуги. Таким образом достигается экономия материала и равномерность напряжения.
3) Критерий «эстетика и простота изготовления»
- Круговая дуга (отрезок окружности) — часто предпочтительна: простая геометрия, легко формуется и конструируется, классическая эстетика. Радиус для заданного $L,H$: $R=\frac{L^2}{8H}+\frac{H}{2}.$
Минус: круговая дуга не является функториальной для большинства физических нагрузок, поэтому требует больших издержек по материалу/армированию, чем парабола/катенара для тех же условий.
- Циклоида — прежде всего эстетический/архитектурный выбор (характерный «приподнятый» профиль); редко оптимальна по несущей эффективности. Параметризуется как $x=r(t-\sin t),y=r(1-\cos t)$ и позволяет гибко задавать форму (параметры $r$ и предельный параметр $t$ подгоняют под $L,H$). Используется, если требуется специфический визуальный эффект или особая плавность кривизны.
4) Ограничение угла опор и высоты — практические замечания
- Для фиксированных $L,H$ у каждой формы автоматически получается угол тангенса на опоре. Для параболы: тангенс угла на опоре $\tan {\theta }_p=\frac{4H}{L}.$ Для катенары: тангенс $\tan {\theta }_c=\sinh \left(\frac{L}{2a}\right)$ с $a$ из уравнения выше. Для окружности угол определяется геометрией радиуса $R$. Если требование по максимальному углу опор не выполняется для «функциональной» оптимальной формы, возможны варианты:
- увеличить подъём $H$ (если возможно);
- перейти к комбинированной/составной форме (несколько дуг/переходные кривые) — компромисс между эстетикой и силовой оптимизацией;
- сохранить форму и усилить арку на опоре (принять изгибающие моменты конструированием сечения).
Резюмируя рекомендации
- Минимум материала при собственном весе → перевёрнутая катенара.
- Минимум изгибающих моментов при равномерной вертикальной нагрузке → парабола.
- Простота изготовления и эстетика → круговая дуга (или составные окружности).
- Циклоида — чисто архитектурный/эстетический выбор, редко структурно оптимальна.
Практический рабочий порядок: определить доминирующий вид нагрузки → получить соответствующую функториальную кривую (катенара или парабола) → проверить угол опор и $H$ → при несоответствии рассмотреть круговую/составную форму или изменить поперечное сечение для восприятия изгибающих моментов.