Короткий ответ: если попарно равны высоты на соответствующие стороны, то треугольники подобны только в случае конгруэнтности (коэффициент подобия $1$). То есть необходимое и достаточное условие подобия — совпадение треугольников (равенство всех соответствующих сторон).
Доказательство. Пусть для двух треугольников соответствующие стороны обозначены $a,b,c$ и $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$, площади $S,S^{\prime }$, высоты на эти стороны $h_a,h_b,h_c$ и $h_a^{\prime },h_b^{\prime },h_c^{\prime }$. Из формулы высоты
$$h_a=\frac{2S}{a},h_a^{\prime }=\frac{2S^{\prime }}{a^{\prime }},$$ и равенства $h_a=h_a^{\prime }$ получаем
$$\frac{S^{\prime }}{S}=\frac{a^{\prime }}{a}.$$ Аналогично из $h_b=h_b^{\prime }$ и $h_c=h_c^{\prime }$ следует
$$\frac{S^{\prime }}{S}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}.$$ Следовательно
$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}=r=\frac{S^{\prime }}{S}.$$ Из пропорциональности сторон получаем классическое соотношение для площадей при подобии:
$$S^{\prime }=r^{2}S.$$ Сравнивая с предыдущим равенством $S^{\prime }=rS$, получаем $r^2=r$. Так как $r>0$, то $r=1$. Значит $a^{\prime }=a,b^{\prime }=b,c^{\prime }=c$ и треугольники совпадают (подобны лишь с коэффициентом $1$).
Примеры и контрпримеры.
- Пример (подобны и совпадают): два одинаковых треугольника с $a=3,b=4,c=5$. Тогда $h_a=4,h_b=3,h_c=\frac{12}{5}$ и те же значения у второго треугольника.
- Контрпример (две высоты равны, треугольники не подобны): возьмём треугольник с $a=3,b=4$, угол между ними $\gamma =90^{\circ }$. Тогда $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$, $h_a=\frac{12}{3}=4$, $h_b=\frac{12}{4}=3$. Построим второй треугольник с $a^{\prime }=6,b^{\prime }=8$ и углом между ними ${\gamma }^{\prime }=30^{\circ }$. Тогда
$$S^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\sin 30^{\circ }=12,h_a^{\prime }=\frac{2S^{\prime }}{a^{\prime }}=\frac{24}{6}=4,h_b^{\prime }=\frac{24}{8}=3,$$ то есть $h_a^{\prime }=h_a,h_b^{\prime }=h_b$, но
$$c=\sqrt{3^2+4^2}=5,c^{\prime }=\sqrt{6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cos 30^{\circ }}=\sqrt{100-48\sqrt{3}}\approx 4.106,$$ и $h_c=\frac{12}{5}=2.4\ne h_c^{\prime }=\frac{24}{c^{\prime }}\approx 5.847$. Треугольники не подобны.
Вывод: требование равенства всех трёх соответствующих высот эквивалентно требованию конгруэнтности треугольников; равенство только двух высот в общем случае недостаточно для подобия.