Краткая классификация и сравнение методов доказательства теоремы Пифагора. Для определённости обозначим прямоугольный треугольник со катетами $a,b$ и гипотенузой $c$.
1) Трансформационный (перестановочный, симметрический)
- Идея: с помощью поворотов/перестановок фигур показать равенство площадей.
- Пример (поворот/Bhaskara): взять четыре одинаковых прямоугольных треугольника и уложить их так, чтобы образовался большой квадрат со стороной $a+b$; в одном расположении внутри остаётся центральный квадрат стороны $c$, в другом — два маленьких квадрата площадей $a^2$ и $b^2$. Сравнение площадей даёт
$$(a+b{)}^2-4\cdot \frac{ab}{2}=c^2\Rightarrow a^2+b^2=c^2.$$ - Преимущества: наглядность, чисто геометрическое (без алгебраических понятий); легко визуализировать и обучать.
- Ограничения: требует построений, иногда нечётко формализуется; менее удобен для обобщений в абстрактных пространствах.
2) Векторный (скалярное произведение)
- Идея: записать гипотенузу как сумму векторов катетов и использовать свойство ортогональности.
- Пример: положим $\mathbf{u},\mathbf{v}$ — векторы длины $a,b$ и $\mathbf{u}\perp \mathbf{v}$; тогда
$$\Vert \mathbf{u}+\mathbf{v}{\Vert }^2=\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2+2\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}$$ и так как $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0$, получаем $c^2=a^2+b^2$.
- Преимущества: кратко, формально, легко обобщается на евклидовы пространства любой размерности.
- Ограничения: требует знания векторного исчисления/скалярного произведения; менее интуитивен для школьников.
3) Подобие треугольников
- Идея: использовать подобие треугольников, возникающих при опущении высоты на гипотенузу.
- Пример: высота $h$ делит гипотенузу на отрезки $p,q$ с $p+q=c$. Из подобия:
$$a^2=cp,b^2=cq.$$ Суммируя: $a^2+b^2=c(p+q)=c^2$.
- Преимущества: классический школьный путь, даёт дополнительные соотношения (высота, отрезки гипотенузы).
- Ограничения: требует ввода и доказательства подобия; чуть более громоздок, чем векторный или координатный.
4) Ортоцентрические разложения (геометрическая проекция / разложение на ортогональные составляющие)
- Идея: разложить длину или вектор по ортогональным проекциям; геометрически — пользуясь проекциями/прямоугольными компонентами.
- Пример (геометрическая проекция): взять единичные ортнормы ${\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y$ вдоль катетов; вектор гипотенузы $\mathbf{c}=a{\mathbf{e}}_x+b{\mathbf{e}}_y$, тогда
$$c^2=\Vert \mathbf{c}{\Vert }^2=(a{\mathbf{e}}_x+b{\mathbf{e}}_y)\cdot (a{\mathbf{e}}_x+b{\mathbf{e}}_y)=a^2+b^2.$$ (это геометрическое выражение ортогонального разложения координат).
- Преимущества: явная связь с проекциями и физикой (компоненты силы и т. п.); близко к векторному, но менее абстрактно.
- Ограничения: по сути эквивалентно векторному/координатному методу; требует понятия ортогональности и проекций.
5) Вычислительный (координатный, закон косинусов)
- Идея: ввести координаты или применить алгебраические формулы.
- Примеры:
- Координатный: поместить вершины в точки $(0,0),(a,0),(0,b)$. Тогда гипотенуза между $(a,0)$ и $(0,b)$ имеет длину
$$c=\sqrt{(a-0{)}^2+(0-b{)}^2}=\sqrt{a^2+b^2}\Rightarrow c^2=a^2+b^2.$$ - Закон косинусов: для угла $90^{\circ }$, $\cos 90^{\circ }=0$, поэтому
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos 90^{\circ }=a^2+b^2.$$ - Преимущества: простота, строгая алгебраическая формулировка, легко программировать и обобщать.
- Ограничения: менее геометрически наглядно; требует понимания координат или тригонометрии/закона косинусов.
Краткие рекомендации при выборе метода:
- Для наглядного объяснения и обучения — трансформационный (перестановочный).
- Для формального и обобщающего доказательства в чистой геометрии — подобие (введения высоты).
- Для обобщений в пространствах большей размерности и аналитических выводов — векторный или координатный.
- Ортоцентрические/проекционные аргументы удобны, когда важно показать роль компонент и проекций.
(Все приведённые подходы эквивалентны по силе на евклидовой плоскости, различаются по инструментарию, интуитивности и удобству обобщений.)