Постановка. Пусть задана окружность $S$ с центром $O$ и радиусом $R>0$ и прямая $l$, не пересекающая $S$. Обозначим расстояние от $O$ до $l$ через $d$ (по условию $d>R$). Выберем систему координат так, чтобы $O=(0,0)$ и $l:y=-d$. Пусть искомая окружность имеет центр $M=(x,y)$ и радиус $r>0$. Условие касания к прямой даёт
$$r=\mathrm{dist}(M,l)=y+d.$$
1) Аналитическое исследование.
- Внешнее касание с $S$ (окружность не содержит $S$): расстояние центров равно $R+r$, поэтому
$$\sqrt{x^2+y^2}=R+(y+d),$$ или в квадрате
$$x^2+y^2=(R+y+d{)}^2.$$ После упрощения
$$y=\frac{x^2-(R+d{)}^2}{2(R+d)}.$$ Это уравнение параболы.
- Случай, когда искомая окружность содержит $S$ (внутреннее касание): тогда
$$\sqrt{x^2+y^2}=r-R=(y+d)-R,$$ и в квадрате
$$x^2+y^2=(y+d-R{)}^2,$$ откуда
$$y=\frac{x^2-(d-R{)}^2}{2(d-R)}.$$ Это тоже парабола (при $d>R$ знаменатель положителен).
Симметрия: оба уравнения квадратичны по $x$ и линейны по $y$ — вертикальные параболы.
2) Синтетическое описание.
Обе семьи центров — параболы с фокусом в $O$. Их директрисы получаются параллельным переносом исходной прямой $l$ вдоль её нормали на расстояние $R$:
- для внешнего касания директриса — линия, параллельная $l$, отстоящая от $l$ дальше от $O$ на $R$, т.е. в наших координатах $y=-(d+R)$; парабола задаётся условием
$$|OM|=\mathrm{dist}(M,y=-(d+R)).$$ - для случая окружности, содержащей $S$, директриса — линия, параллельная $l$, отстоящая от $l$ ближе к $O$ на $R$, т.е. $y=R-d$; парабола задаётся
$$|OM|=\mathrm{dist}(M,y=R-d).$$
Сравнение. Аналитические уравнения эквивалентны синтетическим свойствам фокуса и директрисы: из уравнений расстояний легко вывести приведённые явные формулы для $y(x)$.
3) Обобщения.
a) Две окружности. Пусть окружности $S_1(O,R_1)$ и $S_2(C,R_2)$. Для искомой окружности с центром $M$ и радиусом $r$ имеем две касательные условности:
$$|MO|=R_1\pm r,|MC|=R_2\pm r,$$ где знаки выбираются в зависимости от типа касаний (внутреннее/внешнее) для каждой из данных окружностей. Исключая $r$, получаем общее уравнение вида
$${\epsilon }_1|MO|+{\epsilon }_2|MC|=R_1{\epsilon }_1+R_2{\epsilon }_2,$$ где ${\epsilon }_i=\pm 1$. Это равенство задаёт конус с фокусами в $O$ и $C$: при сумме расстояний (знаки совпадают) — эллипс (или вырожденный случай), при разности — гиперболу. Таким образом множества центров — ветви соответствующих конических сечений (или вырождения).
b) Окружность и «отрицательный радиус» (направленная величина). Если радиус одной из данных окружностей принять «направленным» (знак минус), то формулы остаются теми же: подстановка $R_2<0$ в формулу выше переключает вид конуса (эквивалентно смене типа касания). Иными словами, формула
$${\epsilon }_1|MO|+{\epsilon }_2|MC|=R_1{\epsilon }_1+R_2{\epsilon }_2$$ работает и при $R_i$ со знаком; отрицательный радиус формально соответствует другой комбинации внутренних/внешних касаний и меняет конус (эллипс↔гипербола) или даёт вырожденные случаи (правая часть ноль → биссектриса/перпендикуляр и т.п.).
Коротко: при касании окружности и прямой множества центров — одна или две параболы (внешнее/включающее касание), аналитические уравнения приведены выше; при двух окружностях получаем общие коники с фокусами в центрах данных окружностей; введение направленного (отрицательного) радиуса просто меняет соответствующие знаки в этих равенствах.