Коротко: геометрическое место всех точек $X$ — ребро $BC$ (независимо от $\lambda$). Обоснование и условия симметрий ниже.
Доказательство (аффинный/векторный подход). Пусть
$$t=\frac{\lambda }{1+\lambda },M=(1-t)A+tB,N=(1-t)C+tD.$$ Точка $M$ лежит на отрезке $AB$, поэтому три точки $A,C,M$ лежат в плоскости, проходящей через $A,B,C$ (то есть в плоскости $(ABC)$). Следовательно плоскость $(ACM)=(ABC)$ и не зависит от $\lambda$. Аналогично $N$ лежит на $CD$, поэтому $(BDN)=(BDC)$ и тоже не зависит от $\lambda$. Пересечение плоскостей $(ABC)$ и $(BDC)$ — это их общая прямая, которой является ребро $BC$. Значит при любом $\lambda >0$ линия пересечения плоскостей $(ACM)$ и $(BDN)$ совпадает с $BC$, и геометрическое место точек $X$ — вся прямая (отрезок) $BC$.
Условия на $\lambda$ для попадания $X$ на линии симметрии. Поскольку множествo $X$ не зависит от $\lambda$ (оно равно $BC$), изменение $\lambda$ ничего не меняет: точки $X$ лежат на линии симметрии тетраэдра тогда и только тогда, когда само ребро $BC$ принадлежит этой линии симметрии тетраэдра. Иными словами, для того чтобы какие‑то точки $X$ (а значит и весь $BC$) были на оси или плоскости симметрии, тетраэдр должен иметь соответствующую симметрию, а не $\lambda$ должен удовлетворять чему‑то.
Примеры конкретных условий (эквивалентные формулировки):
- Чтобы существовала симметрия (отражение или поворот порядка 2), фиксирующая $B$ и $C$ и меняющая местами $A$ и $D$, необходимо и достаточно, чтобы треугольники $ABC$ и $DBC$ были конгруэнтны (эквивалентно: $AB=DB$ и $AC=DC$ и совпадение соответствующих углов). В этом случае $BC$ — ось (или линейный фиксатор) симметрии и все $X\in BC$ лежат на этой оси.
- Аналогично для симметрий, фиксирующих $A$ и $D$ и меняющих местами $B$ и $C$, требуется конгруэнтность треугольников $ABD$ и $ACD$.
Вывод: геометрическое место точек $X$ — ребро $BC$. Попадание этих точек на какие‑либо линии симметрии зависит не от $\lambda$, а от наличия у тетраэдра соответствующей симметрии (конгруэнтности указанных пар треугольников).