Коротко: все точки $C$ с углом $\angle ACB=\alpha$ лежат на(х) циркуля(х) через $A$ и $B$ с радиусом $R=\frac{|AB|}{2\sin \alpha }$; центры этих окружностей лежат на перпендикулярной биссектрисе отрезка $AB$ на расстоянии $MO=\frac{|AB|}{2}\cot \alpha$ от середины $M$. Решения — пересечения заданной прямой $l$ с этими окружностями (в предельных и вырожденных случаях — касания или их отсутствие). Ниже — формулировки, алгоритм построения и доказательство.
Условия на $\alpha$ и естественные замечания
- Нужен непустой отрезок $AB$ и $0<\alpha <\pi$. При $\alpha =0$ или $\alpha =\pi$ треугольника с ненулевым основанием не бывает.
- Если $\alpha =\frac{\pi }{2}$, то искомая окружность единственная — окружность с диаметром $AB$ (центр $M$).
- Если $\alpha \ne \frac{\pi }{2}$, то существуют две окружности через $A$ и $B$ (центры симметричны относительно $M$ на перпендикулярной биссектрисе).
Лемма (локус). Пусть $d=|AB|$, $s=\frac{d}{2}$. Тогда любые точки $C$, для которых $\angle ACB=\alpha$, лежат на тех окружностях через $A$ и $B$, радиус которых
$$R=\frac{d}{2\sin \alpha },$$ а центры находятся на перпендикулярной биссектрисе в точках, отстоящих от $M$ на расстояние
$$MO=\frac{d}{2}\cot \alpha .$$ Доказательство леммы: если $C$ лежит на окружности с центром $O$ и через $A,B$, то центральный угол $\angle AOB$ равен $2\angle ACB$ (теорема о вписанном и центральном углах), значит $|OA|=|OB|=R$ и по отношению хорды $AB$ $$d=2R\sin \alpha \Rightarrow R=\frac{d}{2\sin \alpha }.$$ Так как $O{M}^2=R^2-(d/2{)}^2$, получаем $MO=(d/2)\cot \alpha$. Обратное тоже верно: любая точка на соответствующей дуге окружности даёт вписанный угол $\alpha$.
Алгоритм построения (линейка + циркуль)
1. Постройте середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярную биссектрису $p$ к $AB$ через $M$. Пусть $d=|AB|$, $s=\frac{d}{2}$.
2. Если $\alpha \le 0$ или $\alpha \ge \pi$ — решений нет. Если $\alpha =\frac{\pi }{2}$: центр окружности $O=M$, постройте окружность с центром $M$ и радиусом $MA$; пересечения этой окружности с $l$ — все решения (0,1 или 2 точки).
3. Если $\alpha \ne \frac{\pi }{2}$: нужно на $p$ отложить от $M$ оба направления отрезки длины $MO=\frac{d}{2}\cot \alpha$. Построение $MO$ стандартно: построьте прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha$ и катетом, равным $s$ (это делается с помощью переноса отрезков и построения угла $\alpha$); прилежащий катет этого треугольника будет равен $s\cot \alpha$ — перенесите этот отрезок из $M$ на биссектрису в обе стороны и получите центры $O_1,O_2$.
(альтернативно: построив $MO$, можно сразу построить радиус $R=\sqrt{(s{)}^2+(MO{)}^2}=\frac{d}{2\sin \alpha }$ и окружности с центрами $O_1,O_2$ радиуса $R$.)
4. Постройте окружности с центрами $O_1,O_2$ и радиусом $R$. Пересечения каждой окружности с прямой $l$ дают кандидатов $C$.
5. Для каждого найденного пересечения проверьте (построением угла) равенство $\angle ACB=\alpha$. Примите те точки, для которых углы действительно равны (обычно это точки на соответствующих дугах; если точка даёт угол $\pi -\alpha$, её нужно отклонить).
6. Ответ: все принятые точки $C$ дают требуемые треугольники $ABC$. Количество решений варьируется от 0 до 4 (две окружности × до двух пересечений каждой с $l$), при касании даётся по одному решению от соответствующей окружности; при $\alpha =\frac{\pi }{2}$ максимум два решения.
Корректность и все случаи существования
- Необходимость: если $\angle ACB=\alpha$, то по лемме $C$ лежит на окружности(ях), описанных выше, следовательно $C\in l\cap (\text{эти окружности})$.
- Достаточность: любая точка пересечения $C$ соответствующей окружности с нужной дугой даёт по теореме о вписанном угле $\angle ACB=\alpha$.
- Сколько окружностей: если $\alpha =\frac{\pi }{2}$, то $\cot \alpha =0$ и центры совпадают ($O=M$) — одна окружность; если $\alpha \ne \frac{\pi }{2}$, то два центра $O_1,O_2$ — две окружности. Если $\sin \alpha$ очень мал, $R$ велика, но это не мешает построению (в Евклидовой геометрии допускается).
- Итог по числу решений: 0 (нет пересечений), 1 (касание или единственная окружность и касание), 2, 3 или 4 (максимум 4 при двух окружностях и двух пересечениях каждой). Исключаются решения, совпадающие с $A$ или $B$ (они дают вырожденный треугольник).
Замечание о выборе «правильной» дуги: на каждой окружности одна дуга даёт вписанный угол $\alpha$, другая — $\pi -\alpha$; поэтому из пересечений берём только те точки, которые лежат на нужной дуге (это легко проверить построением угла в точке пересечения).
Таким образом алгоритм сводится к построению (одной или двух) окружностей, проходящих через $A$ и $B$ и дающих вписанный угол $\alpha$, и пересечения их с заданной прямой $l$.