Ответ:
1) Формула площади. Пусть длины диагоналей $AC=p$, $BD=q$, угол между ними $\phi$ (для невырожденного выпуклого четырёхугольника $\phi \in (0,\pi )$). Тогда
$$S=\frac{1}{2}pq\sin \phi .$$
2) Зависимость. При фиксированных $p,q$ площадь монотонно зависит от $\sin \phi$, максимальна при $\phi =\frac{\pi }{2}$, минимально стремится к $0$ при $\phi \to 0$ или $\phi \to \pi$.
3) Экстремумы при фиксированной сумме диагоналей. Пусть $p+q=s$ — фиксировано. По неравенству среднего и геометрического:
$$pq\le (\frac{p+q}{2}{)}^2=(\frac{s}{2}{)}^2.$$ Следовательно при данном $\phi$ $$S=\frac{1}{2}pq\sin \phi \le \frac{1}{2}(\frac{s}{2}{)}^2\sin \phi =\frac{s^2}{8}\sin \phi ,$$ равенство при $p=q=\frac{s}{2}$. При свободном выборе $\phi$ дополнительно $\sin \phi \le 1$, поэтому глобальная верхняя граница
$$S\le \frac{s^2}{8},$$ достигается при $p=q=\frac{s}{2}$ и $\phi =\frac{\pi }{2}$. Нижняя граница (инфимум) равна $0$ (приближая $\phi \to 0$ или делая одну диагональ малой получаем вырождение).
4) Геометрический смысл. Максимум достигается при равных и перпендикулярных диагоналях — это симметричная конфигурация; такой набор достижим, например, квадратом (для которого $p=q=s/2$ и $\phi =\pi /2$), поэтому среди всех выпуклых четырёхугольников с данной суммой диагоналей наибольшая площадь равна $\frac{s^2}{8}$ и реализуется квадратом. Нижний предел $0$ соответствует вырождению фигуры.