Возьмём для определённости и наглядности правильный круговой конус с вершиной в начале координат и полууглом при вершине $\alpha$:
$$x^2+y^2=(z\tan \alpha {)}^2.$$ Любую плоскость можно повернуть вокруг оси $z$, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда плоскость имеет уравнение
$$z=\lambda x+h,$$ то есть её нормаль лежит в плоскости $xz$. Обозначим угол между плоскостью и осью $z$ через $\beta$. Тогда
$$\lambda =\cot \beta ,\text{перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости}d=\frac{|h|}{\sqrt{1+{\lambda }^2}}=|h|\sin \beta ,$$ и введём удобное сокращение
$$T=\tan \alpha ,A=1-(\frac{\tan \alpha }{\tan \beta }{)}^2=1-(\frac{T}{\tan \beta }{)}^2.$$
Подстановка $z=\lambda x+h$ в уравнение конуса даёт квадратичное уравнение в $x,y$:
$$(1-T^2{\lambda }^2)x^2+y^2-2T^2\lambda hx-T^2{h}^2=0,$$ или, с использованием $A$,
$$A{x}^2+y^2-2T^2\lambda hx-T^2{h}^2=0.$$
Классификация сечений (при $d>0$, т.е. плоскость не проходит через вершину):
- Эллипс: если $A>0$. Это соответствует $\beta >\alpha$ (угол плоскости больше полуугла конуса). После сдвига $x\mapsto x-x_0$ с
$$x_0=\frac{T^2\lambda h}{A}$$ каноническая форма
$$A(x-x_0{)}^2+y^2=\frac{T^2{h}^2}{A}$$ эквивалентна эллипсу
$$\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$$ где полуоси равны
$$a=\frac{T|h|}{A}=\frac{\tan \alpha d}{A\sin \beta },b=\frac{T|h|}{\sqrt{A}}=\frac{\tan \alpha d}{\sqrt{A}\sin \beta }.$$
- Парабола: если $A=0$ (то есть $\beta =\alpha$). Тогда квадратичный член по $x^2$ исчезает и уравнение сводится к
$$y^2-2T^2\lambda hx-T^2{h}^2=0.$$ После сдвига $x^{\prime }=x+\frac{h}{2\lambda }$ получаем каноническую форму
$$y^2=4f{x}^{\prime },f=\frac{T^2\lambda h}{2}.$$ В терминах расстояния $d$ (при $\beta =\alpha$) это даёт простую запись для фокусного параметра:
$$f=\frac{d}{2\cos \alpha }.$$
- Гипербола: если $A<0$. Пусть $B=-A>0$ (т. е. $\beta <\alpha$). Тогда после сдвига получается
$$-B(x-x_0{)}^2+y^2=-\frac{T^2{h}^2}{B},$$ что даёт стандартную форму гиперболы
$$\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,$$ с полуосями
$$a=\frac{T|h|}{B}=\frac{\tan \alpha d}{B\sin \beta },b=\frac{T|h|}{\sqrt{B}}=\frac{\tan \alpha d}{\sqrt{B}\sin \beta },$$ где $B=(\frac{T}{\tan \beta }{)}^2-1$.
Особые вырожденные случаи:
- Если плоскость проходит через вершину ($d=0$, т.е. $h=0$), сечение — пара прямых (если плоскость не совпадает с образующей) или одна образующая (касательная плоскость).
- Если плоскость касается конуса (в угловом смысле) — это параболический случай с вырождением предельного случая между эллипсом и гиперболой.
Кратко: тип сечения определяется сравнением угла $\beta$ плоскости с полууглом $\alpha$ конуса:
$$\beta >\alpha \Rightarrow \text{эллипс},\beta =\alpha \Rightarrow \text{парабола},\beta <\alpha \Rightarrow \text{гипербола},$$ а аналитические величины (полуоси, фокус) выражаются приведёнными формулами через $\alpha ,\beta$ и перпендикулярное расстояние $d$ от вершины до плоскости (или через $h$ в выбранной системе координат).