Формулировки, доказательства (схемы) и методика преподавания.
1) Классический план: общее устройство
- В 2D теоремы Чевы и Менелая выражаются через ориентированные отрезки и отношения длин.
- В пространстве (и в общей размерности) естественный заменитель длины — ориентированный объем (или барицентрические/аффинные координаты). Обобщения формулируются через отношения ориентированных объёмов (или площадей граней).
2) Теорема Чевы для тетраэдра (3D)
Формулировка. Пусть $ABCD$ — невырожденный тетраэдр. На гранях, противоположных вершинам, взяты точки
$A_1\in BCD,B_1\in CDA,C_1\in DAB,D_1\in ABC$.
Тогда прямые $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1,D{D}_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
$$\frac{[BC{A}_1]}{[A_{1}CD]}\cdot \frac{[CD{B}_1]}{[B_{1}DA]}\cdot \frac{[DA{C}_1]}{[C_{1}AB]}\cdot \frac{[AB{D}_1]}{[D_{1}BC]}=1,$$ где $[XYZ]$ — ориентированная площадь соответствующего треугольника на грани (или удобнее — площади треугольников, образованных вершинами грани и точкой на ней).
Короткая схема доказательства.
- Пусть прямые пересекаются в $O$. Рассмотрим, например, грань $BCD$ и точку $A_1=A{A}_1\cap BCD$. Отношение площадей на этой грани можно выразить через отношения объёмов тетраэдров с вершиной $O$:
$$\frac{[BC{A}_1]}{[A_{1}CD]}=\frac{[OBC{A}_1]}{[OCD{A}_1]}\cdot \frac{[ABC]}{[ACD]},$$ но т.к. множители, содержащие грань с вершиной $A$, при перемножении по циклу взаимно сократятся, в результате получается произведение единица. Формализация даётся через равенства видов $\frac{\mathrm{Vol}(O,B,C,A_1)}{\mathrm{Vol}(O,C,D,A_1)}=\frac{\mathrm{Vol}(A,B,C,A_1)}{\mathrm{Vol}(A,C,D,A_1)}$ и последующее перемножение четырёх таких отношений.
- Обратное направление: из равенства произведения равного единице строят барицентрические веса (или решают систему аффинных уравнений), показывая, что пересечение линий существует и равно единственному решению — точке с заданными весами.
(Примечание: для удобства доказательства обычно используют ориентированные объёмы тетраэдров $\mathrm{Vol}(\cdot )$; замена площадей на объёмы граней + сопоставление высот даёт тот же результат.)
3) Теорема Менелая для тетраэдра (3D)
Формулировка. Пусть тетраэдр $ABCD$ и плоскость $\Pi$ пересекают (или являются продолжениями) рёбра $AB,BC,CD,DA$ в точках $P\in AB,Q\in BC,R\in CD,S\in DA$ соответственно. Тогда точки $P,Q,R,S$ лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда
$$\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BQ}{QC}\cdot \frac{CR}{RD}\cdot \frac{DS}{SA}=1$$ (все отношения ориентированные; при необходимости вводится знак $(-1)$ при учёте направлений — удобнее работать с ориентированными отрезками либо с отношениями длин на прямых с заданной ориентацией).
Короткая схема доказательства.
- Если $P,Q,R,S$ лежат в плоскости $\Pi$, тогда рассмотрение сечений граней тетраэдра плоскостью $\Pi$ даёт подобие треугольников и равенства отношений длин на рёбрах; перемножение по циклу даёт единицу.
- Обратное: при выполнении произведения = $1$ строится плоскость, задаваемая двумя точками пересечения с рёбрами; проверка, что она проходит через остальные точки, сводится к единственности аффинной плоскости, задаваемой двумя пересекающимися прямыми или трёмя неколлинеарными точками.
4) Обобщение на n‑мерный симплекс (кратко)
Пусть $S$ — невырожденный $n$-симплекс с вершинами $V_0,\dots ,V_n$. На каждой гиперграни, противоположной $V_i$, взята точка $P_i$. Тогда прямые (лучи) $V_i{P}_i$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда произведение соответствующих отношений ориентированных $(n-1)$-объёмов граней равно $1$. Аналогично, гиперплоскость пересекает (или продолжения) рёбер симплекса в точках с произведением ориентированных отношений равным $(-1{)}^{n+1}$ (знак зависит от соглашения об ориентации).
Доказательство даётся либо индукцией по размерности, либо через барицентрические (аффинные) координаты: concurrency эквивалентно существованию ненулевого вектора весов $({\lambda }_0,\dots ,{\lambda }_n)$ с $\sum {\lambda }_i=0$ и с нужными отношениями между координатами, что сводится к указанному произведению.
5) Методические подходы к введению обобщений (старшие классы и 1-й курс)
- Ступенчатость: начать с хорошо знакомых 2D: подробно разобрать Чеву и Менелая в треугольнике с ориентированными отрезками; дать много задач с числовыми примерами.
- Интуиция через подобие и объёмы: затем показать тетраэдральные версии, подчеркивая замену «длины» на «площади граней» или «объёмы» и роль высоты. Демонстрации на моделях тетраэдров полезны.
- Два пути доказательства:
a) Геометрический (объёмы, соотношения высот, подобие сечений).
b) Альгебраический (барицентрические/аффинные координаты или детерминанты). Для 1-го курса предпочтителен алгебраический путь — он даёт строгую систему и расширяется на любую размерность.
- Вводить ориентировки и знаки аккуратно: сначала работать с положительными конфигурациями, затем вводить ориентированный подход для общего случая (продолжения рёбер, внешние пересечения).
- Задачная практика: смешанные задачи — вычисление точек пересечения, проверка условий по числовым данным, доказательство обратных утверждений. Для старших классов — визуальные и численные задачи; для 1‑го курса — доказательные задания с барицентрическими координатами и индукцией.
- Связь с проективной геометрией: показать, что эти утверждения — частные случаи более общей структуры (отношения к проективным преобразованиям и детерминантным тождествам). Для мотивированных студентов полезно упомянуть это как «что дальше».
6) Резюме (коротко)
- Основная идея обобщения: длины → площади/объёмы, треугольник → симплекс; равенство произведения ориентированных отношений остаётся критерием коллинеарности/копланарности или конкуренции прямых.
- Доказательства: прямые через объёмы (геометрия) либо через барицентрические/аффинные координаты (алгебра), оба подхода рекомендуются при обучении в зависимости от уровня класса.
Если нужно, могу дать полные пошаговые доказательства для тетраэдра в терминах объёмов или полный алгебраический (барицентрический) вариант для $n$-симплекса.