Короткий ответ: множества центров всех окружностей, касающихся прямой $AB$ и проходящих через точку $P$ (предполагаем $P$ не лежит на прямой $AB$), — это парабола с фокусом в точке $P$ и директрисой — прямой $AB$. Доказательства ниже — аналитическое и инверсное — и сравнение их эффективности.
1) Аналитическое доказательство (быстрое и явное).
- Поставим систему координат так, чтобы прямая $AB$ была осью $x$ (директриса: $y=0$) и $P=(0,p)$, $p>0$.
- Пусть $O=(x,y)$ — центр искомой окружности. Условие: радиус равен расстоянию до прямой и одновременно равен расстоянию до $P$, то есть
$$OP=\mathrm{dist}(O,AB).$$ Запишем это в координатах:
$$\sqrt{(x-0{)}^2+(y-p{)}^2}=|y|.$$ - Возведём в квадрат и упростим:
$$x^2+(y-p{)}^2=y^2⟹x^2-2py+p^2=0.$$ Отсюда
$$y=\frac{x^2}{2p}+\frac{p}{2},$$ что есть уравнение параболы с фокусом $P$ и директрисой $y=0$. Заметим ещё, что центр должен быть на той же стороне прямой $AB$, где лежит $P$, чтобы радиус был положителен.
2) Инверсный метод (геометрическое объяснение, даёт интуицию, иногда упрощающий конструкцию).
- Выполним инверсию с центром в $P$. Под инверсией:
- Любая окружность, проходящая через $P$, превращается в прямую (не проходящую через $P$).
- Прямая $AB$ (не проходящая через $P$) превращается в некоторую окружность $S$, проходящую через $P$.
- Следовательно, семейство всех окружностей через $P$, касающихся $AB$, переходит в семейство всех прямых, касательных к окружности $S$.
- Линии, касательные к $S$, образуют огибающую семейства прямых; обратное отображение инверсии переводит эту огибающую в конику в исходной плоскости. Поскольку в исходных условиях точка $P$ выступает как фокус (равенство расстояний до точки и до прямой), обратная к окружности $S$ коника — это парабола с фокусом в $P$ и директрисой $AB$.
- Инверсия даёт ещё и конструктивное представление: построив $S$ (образ $AB$), можно рассматривать все касательные к $S$ и обратно получать соответствующие окружности через $P$; это удобно для геометрических построений и иллюстрации взаимности «точка↔директриса».
3) Сравнение эффективности.
- Аналитический метод: простой, прямой, даёт явное уравнение параболы и легко обрабатывается алгеброй. Лучший выбор, если нужна формула, координатное представление или проверка.
- Инверсный метод: даёт глубокую геометрическую интерпретацию (преобразует сложное семейство окружностей в простое семейство касательных прямых), удобен для чисто геометрических рассуждений и построений, но для получения явного уравнения требует дополнительных вычислений инверсии (или теоретического вывода), поэтому алгебраически иногда громоздче.
- Вывод: для доказательства и уравнения — аналитика предпочтительна; для геометрической интуиции и конструкций — инверсия часто более наглядна.