Определение. Тетраэдр $ABCD$ называется ортокентрическим, если четыре высоты (перпендикуляры из вершин к противоположным граням) пересекаются в одной точке $H$ (ортокентре).
Основные эквивалентные условия и доказательства.
Теорема. Для невырожденного тетраэдра $ABCD$ эквивалентны следующие утверждения:
1) высоты попарно пересекаются в одной точке (тетраэдр ортокентричен);
2) противоположные рёбра попарно перпендикулярны:
$AB\perp CD,AC\perp BD,AD\perp BC;$
3) суммы квадратов противоположных рёбер равны:
$$A{B}^2+C{D}^2=A{C}^2+B{D}^2=A{D}^2+B{C}^2.$$
Доказательство (кратко).
(i) ⇒ (ii). Пусть высоты пересекаются в $H$. Тогда, например, $AH\perp$ плоскости $BCD$ и $BH\perp$ плоскости $ACD$. Отсюда $AH\perp CD$ и $BH\perp CD$, следовательно обе векторы $AH$ и $BH$ перпендикулярны $CD$. Тогда
$$AB=AH-BH$$ тоже перпендикулярен $CD$, т.е. $AB\perp CD$. Аналогично для других пар противоположных рёбер.
(ii) ⇒ (i). Пусть, напр., $AB\perp CD,AC\perp BD,AD\perp BC$. Докажем, что высоты пересекаются. Рассмотрим две высоты, из $A$ и из $B$. Так как $AH$ перпендикулярен любой векторной направляющей плоскости $BCD$, а $BH$ — любой векторной направляющей плоскости $ACD$, то при условии попарной перпендикулярности противоположных рёбер получаются взаимоограничивающие равенства скалярных произведений (все попарные скалярные произведения между векторами вершин относительно искомой точки совпадают), что даёт совместную систему линейных уравнений для координат точки пересечения; эта система имеет единственное решение — точку, общую для высот. (Альтернативный компактный аргумент: равенства сумм квадратов, получаемые из (ii) — см. ниже, приводят к совместимости линейной системы для точки $H$, поэтому высоты пересекаются.) Таким образом высоты пересекаются.
(ii) ⇔ (iii). Разложим квадраты расстояний через скалярные произведения: для произвольных векторных представлений вершин $A,B,C,D$ имеет место тождество
$$A{B}^2+C{D}^2-A{C}^2-B{D}^2=2((A-D)\cdot (C-B)).$$ Отсюда равенство $A{B}^2+C{D}^2=A{C}^2+B{D}^2$ эквивалентно $(A-D)\cdot (C-B)=0$, т.е. $AD\perp BC$. Подобные соотношения дают остальные пары. Поэтому условия (ii) и (iii) эквивалентны.
Следствия и свойства ортокентра.
1) Векторная формула при выборе начала в окружности (центре описанной сферы). Пусть $O$ — центр описанной сферы, и обозначим радиус $R$. Если тетраэдр ортокентрический и берем координаты вершин относительно $O$: $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}$ (т.е. $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=|\mathbf{d}|=R$), то ортокентр имеет векторное представление
$$\mathbf{h}=\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}.$$ (Это прямой аналог формулы для треугольника: ортокентр равен сумме радиус-векторов вершин при начале в центре описанной окружности.) Из этого вытекает, в частности, сонаправленность $O,G,H$ (где $G$ — центр масс/центроид): так как $\mathbf{g}=(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d})/4=\mathbf{h}/4$, получаем, что $O,G,H$ коллинеарны и
$$OG:GH=1:3.$$
2) Сингулярные скалярные соотношения. При взятии начала в ортокентре $H$ векторы $\mathbf{a}=HA,\dots$ имеют свойство: для любых двух различных вершин их попарные скалярные произведения равны одной и той же величине $t$:
$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{d}=\cdots =t.$$ Это следует из того, что, например, $\mathbf{a}$ перпендикулярен любой векторной направляющей плоскости $BCD$, т.е. $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{c})=0$ и $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{d})=0$, откуда $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{d}$; аналогично для других вершин, что даёт одну общую величину.
3) Аналог «Эйлеровой прямой» и соотношение радиусов. Как сказано, $O,G,H$ коллинеарны и $OG=\frac{1}{4}OH$. (Иногда говорят: «Эйлерова прямая» для тетраэдра; отношение отличается от треугольника.)
4) «Девятиточечная» (Euler) сфера- аналог. Аналог девятиточечной окружности треугольника в тетраэдре даёт сферу, центр которой — середина отрезка $OH$, а радиус равен $\frac{1}{2}R$ (где $R$ — радиус описанной сферы). Для ортокентрического тетраэдра на этой сфере лежат естественные наборы точек, аналогичные треугольнику: середины отрезков от ортокентра к вершинам и некоторые другие симметричные точки (в частности, середины рёбер и основания высот попадают в один класс точек, расположенных на этой сфере при соответствующих соотношениях). (Замечание: в тетраэдре число естественно возникающих «аналогов» девяти точек больше, чем 9 — появляется множество середин рёбер, оснований высот и середин отрезков $HA,HB,HC,HD$; все эти группы связаны гомотетией и симметриями относительно середины $OH$.)
Короткая схема применения на практике.
- Чтобы проверить, ортокентричен ли тетраэдр, достаточно проверить любое из эквивалентных условий: (а) все три пары противоположных рёбер попарно перпендикулярны; (б) равенство сумм квадратов противоположных рёбер; (в) найти пересечение двух высот и проверить, лежат ли остальные две высоты в этой точке.
Заключение. Итак, основная удобная характеристика ортокентрического тетраэдра: эквивалентность трех свойств — сопадение высот в одной точке, попарная перпендикулярность противоположных рёбер, и равенство сумм квадратов противоположных рёбер. Ортокентр обладает теми же «эйлеровыми» свойствами, что и в плоском случае: связь с центром описанной сферы и центроидом, и существование аналога девятиточечной (Эйлеровой) сферы.