Кратко сформулируем и докажем классический результат.
Теорема.
- Если все углы треугольника $ABC$ строго меньше $120^{\circ }$, то существует единственная внутренняя точка $P$ (точка Ферма — Торричелли), минимизирующая сумму расстояний
$$S(P)=PA+PB+PC,$$ и она характеризуется равенством
$$\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^{\circ }.$$ - Если хотя бы один угол треугольника не меньше $120^{\circ }$ (например $\angle A\ge 120^{\circ }$), то точкой минимума является соответствующая вершина (в нашем примере — $A$): для всякой точки $P$ выполнено $S(P)\ge S(A)=AB+AC$.
Доказательство (основные идеи, с конструкцией и обоснованием минимальности).
1) Случай всех углов < $120^{\circ }$. Конструкция и минимальность через поворот на $60^{\circ }$.
- Пусть $R_A$ — поворот на $60^{\circ }$ вокруг точки $A$, и $C^{\prime }$ — образ точки $C$ при этом повороте. Тогда для любой точки $P$ имеем $PC=P{C}^{\prime }$, поэтому
$$S(P)=PA+PB+P{C}^{\prime }=PA+PB+P{C}^{\prime }.$$ По неравенству треугольника в треугольнике $BP{C}^{\prime }$ $$PA+PB+P{C}^{\prime }\ge B{C}^{\prime },$$ причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $P$ лежит на отрезке $B{C}^{\prime }$. Аналогично, поворачивая на $60^{\circ }$ вокруг $B$ и $C$, получаем, что для минимума $P$ он должен лежать одновременно на трёх соответствующих отрезках, а их пересечение существует и единственно при условии, что все углы < $120^{\circ }$. Эта точка и есть искомая $P$.
- Угловая характеристика. В найденной точке все три угла между отрезками к вершинам равны $120^{\circ }$. Это также следует из векторного условия стационарности: для внутренней точки минимума градиент суммы равен нулю, т.е.
$$\frac{PA}{PA}+\frac{PB}{PB}+\frac{PC}{PC}=0.$$ Три единичных вектора, сумма которых равна нулю, расположены под углами $120^{\circ }$ друг к другу, откуда $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^{\circ }$. Уникальность точки вытекает из геометрической конструкции и строгой выпуклости функции $S(P)$.
2) Случай существования угла $\ge 120^{\circ }$.
- Невозможность внутренней точки с углами $120^{\circ }$. Если, скажем, $\angle A\ge 120^{\circ }$, то два вектора $\frac{PB}{PB}$ и $\frac{PC}{PC}$ дают в сумме вектор, направленный в сторону вершин $B,C$ таким образом, что никакое добавление третьего единичного вектора (к вершине $A$) не даст нулевой суммы; формально — геометрически не существует трёх равновеликих векторов под углами $120^{\circ }$, которые бы соответствовали расположению вершин, если один угол треугольника $\ge 120^{\circ }$. Значит стационарной внутренней точки нет.
- Тогда минимум достигается на границе треугольника; на отрезках функция $S(P)$ выпукла и минимумы на границе приходятся на концы — вершины. Лёгкой проверкой (или сравнив значения в трёх вершинах) видно, что вершина с углом $\ge 120^{\circ }$ даёт наименьшее значение суммы: например, если $\angle A\ge 120^{\circ }$, то для любой точки $P$ выполняется $S(P)\ge S(A)=AB+AC$ (этот неравенственный вывод можно получить сведением к неравенствам треугольника и учётом большого угла у $A$). Следовательно минимизирующей точкой является $A$.
Поведение при изменении углов.
- По мере того как один из углов треугольника растёт от значения < $120^{\circ }$ к $120^{\circ }$, точка Ферма непрерывно «движется» внутри треугольника и стремится к соответствующей вершине. При достижении углом значения $120^{\circ }$ внутренняя точка совпадает с этой вершиной; при дальнейшем увеличении угла оптимальная точка остаётся вершиной (скачка решения не происходит: внутренний минимум исчезает в момент достижения угла $120^{\circ }$).
- Если одновременно все углы < $120^{\circ }$, точка Ферма единственная и внутренняя; если какой‑то угол становится равен или превышает $120^{\circ }$, решение переходит к этой вершине.
Замечания.
- Конструкция через наружные равносторонние треугольники (и пересечение соответствующих отрезков) даёт явное построение точки Ферма при всех углах < $120^{\circ }$.
- Уравнение стационарности $\sum _{X\in \{A,B,C\}}\frac{PX}{PX}=0$ удобно для аналитического/численного поиска точки.
Если нужно, могу нарисовать схемы поворотов/конструкций или привести более подробное алгебраическое доказательство неравенства в случае угла $\ge 120^{\circ }$.