Решите. задачу. В треугольнике ABC с углами А=20 градусов и B=40 градусов проведена биссектриса CD. Докажите, что разность AB-AC равна CD. Указание: Отметьте на стороне AB такую точку F, что AF=AC.
Решите. задачу. В треугольнике ABC с углами А=20 градусов и B=40 градусов проведена биссектриса CD. Докажите, что разность AB-AC равна CD. Указание: Отметьте на стороне AB такую точку F, что AF=AC.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
∠ACF=∠CFA=180∘−∠A2=180∘−20∘2=80∘.\angle ACF=\angle CFA=\dfrac{180^\circ-\angle A}{2}=\dfrac{180^\circ-20^\circ}{2}=80^\circ.∠ACF=∠CFA=2180∘−∠A =2180∘−20∘ =80∘.
2) Так как ∠ACB=120∘\angle ACB=120^\circ∠ACB=120∘, получаем
∠FCB=∠ACB−∠ACF=120∘−80∘=40∘.\angle FCB=\angle ACB-\angle ACF=120^\circ-80^\circ=40^\circ.∠FCB=∠ACB−∠ACF=120∘−80∘=40∘. Но ∠CBA=40∘\angle CBA=40^\circ∠CBA=40∘, значит в треугольнике CFBCFBCFB ∠FCB=∠CBF=40∘\angle FCB=\angle CBF=40^\circ∠FCB=∠CBF=40∘, откуда CF=BFCF=BFCF=BF. Тогда
AB=AF+FB=AC+CFAB=AF+FB=AC+CFAB=AF+FB=AC+CF, то есть
AB−AC=CF. AB-AC=CF.
AB−AC=CF.
3) Рассмотрим треугольник CBDCBDCBD. Поскольку CDCDCD — биссектриса угла CCC и ∠C=120∘\angle C=120^\circ∠C=120∘, получаем ∠ACD=∠DCB=60∘\angle ACD=\angle DCB=60^\circ∠ACD=∠DCB=60∘. В треугольнике CBDCBDCBD тогда ∠CDB=180∘−60∘−40∘=80∘\angle CDB=180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ∠CDB=180∘−60∘−40∘=80∘. В треугольнике CFDCFDCFD:
∠FCD=∠ACF−∠ACD=80∘−60∘=20∘, \angle FCD=\angle ACF-\angle ACD=80^\circ-60^\circ=20^\circ,
∠FCD=∠ACF−∠ACD=80∘−60∘=20∘, ∠CDF=∠CDB=80∘. \angle CDF=\angle CDB=80^\circ.
∠CDF=∠CDB=80∘. Отсюда ∠CFD=180∘−20∘−80∘=80∘\angle CFD=180^\circ-20^\circ-80^\circ=80^\circ∠CFD=180∘−20∘−80∘=80∘. Значит ∠CDF=∠CFD\angle CDF=\angle CFD∠CDF=∠CFD, и треугольник CFDCFDCFD равнобедренный с CF=CDCF=CDCF=CD.
4) Сочетая с пунктом 2, получаем
AB−AC=CF=CD. AB-AC=CF=CD.
AB−AC=CF=CD.
Что и требовалось доказать.