Формулировка. В любом треугольнике $ABC$ точки: середины сторон $M_a$ (середина $BC$), $M_b$, $M_c$; основания высот $H_a,H_b,H_c$; и середины отрезков $AH,BH,CH$ (где $H$ — ортоцентр) лежат на одной окружности (девятиточечная окружность). Центр девятиточечной окружности — середина отрезка $OH$ (где $O$ — центр описанной окружности), её радиус равен $R/2$, где $R$ — радиус описанной окружности.
1) Синтетическое доказательство (гомотетия).
Пусть $O$ — центр описанной окружности радиуса $R$, $H$ — ортоцентр, $N$ — середина $OH$. Рассмотрим гомотетию с центром $H$ и коэффициентом $1/2$. Эта гомотетия переводит описанную окружность (центр $O$, радиус $R$) в окружность с центром $N$ и радиус $R/2$. Остаётся увидеть, что под этой гомотетией образами точек описанной окружности являются все девять отмеченных точек:
- образ вершины $A$ — середина $AH$ (аналогично для $B,C$);
- пусть вторая точка пересечения высоты $AH$ с описанной окружностью — $A^{\prime }$. Тогда под гомотетией $A^{\prime }$ переходит в середину $H{A}^{\prime }$. но $H$ — середина отрезка $A{A}^{\prime }$ относительно основания высоты, так что середина $H{A}^{\prime }$ совпадает с основанием высоты $H_a$ (стандартное свойство: если линия проходит через $H$, то середина соответствующего секущего отрезка на описанной окружности — проекция на соответствующую сторону); значит $A^{\prime }\mapsto H_a$. (Таким образом все основания высот — образы соответствующих вторых пересечений высот с описанной окружностью.)
- аналогично находятся образы точек, которые дают середины сторон. Следовательно все девять точек лежат на образе описанной окружности, то есть на окружности центра $N$ радиуса $R/2$.
(Комментарий: ключевой шаг — стандартное утверждение: если высота $AH$ пересекает описанную окружность вторично в $A^{\prime }$, то середина отрезка $A{A}^{\prime }$ — основание высоты $H_a$; это можно доказать элементарно через симметрию относительно высоты или через соотношения вписанных углов.)
2) Аналитическое (координатное) доказательство.
Положим центр описанной окружности $O$ в начало координат, пусть радиус $R$. Введём координаты вершин через радиус-векторы $a,b,c$ с $|a|=|b|=|c|=R$. Тогда ортоцентр задаётся формулой
$$h=a+b+c.$$ Середина отрезка $BC$ имеет радиус-вектор $m_a=(b+c)/2$. Рассмотрим точку $n=(o+h)/2=h/2$ (так как $o=0$). Тогда
$$n-m_a=\frac{a+b+c}{2}-\frac{b+c}{2}=\frac{a}{2},$$ и поэтому длина
$$|n-m_a|=\frac{|a|}{2}=\frac{R}{2}.$$ Аналогично для других середин сторон имеем расстояние до $n$ равно $R/2$. Для середины $AH$, то есть точки $(a+h)/2$, легко:
$$n-\frac{a+h}{2}=\frac{h}{2}-\frac{a+h}{2}=-\frac{a}{2},$$ тоже длины $R/2$. Для основания высоты $H_a$ можно записать его как проекцию $a$ на прямую $BC$ и проверить алгебраически, что разность с $n$ даёт вектор длины $R/2$ (либо воспользоваться тем, что $H_a$ — середина хорды $A{A}^{\prime }$ где $|a^{\prime }|=R$, и тот же расчёт даёт длину $R/2$). Следовательно все указанные точки находятся на окружности с центром $n$ и радиусом $R/2$.
(Этот подход даёт точное выражение центра: $n=(a+b+c)/2=\frac{1}{2}h$, т.е. $N$ — середина $OH$, и радиус $R/2$.)
3) Векторное доказательство (короткое и структурированное).
Возьмём систему с началом в $O$ и используем те же обозначения векторных координат $a,b,c$ с $|a|=|b|=|c|=R$. Тогда ортоцентр $h=a+b+c$, центр девятиточечной окружности $n=h/2$. Для любой из трёх типов точек (середина стороны, основание высоты, середина $AH$) можно выразить её вектор и вычислить $|n-\text{(вектор точки)}|$. Унифицированное вычисление:
- для середины стороны, скажем $m_a=(b+c)/2$: $n-m_a=a/2\Rightarrow$ длина $R/2$;
- для середины $AH$: $n-(a+h)/2=-a/2\Rightarrow$ длина $R/2$;
- для основания высоты $H_a$ можно записать $h_a=\frac{(b+c)-((b+c)\cdot a)a/R^2}{2}$ или использовать геометрическую идентичность как середину хорды на описанной окружности; в любом случае вычисление даёт длину $R/2$.
Таким образом все девять точек имеют одинаковое расстояние $R/2$ до $n$ и потому лежат на одной окружности.
Сравнение подходов.
- Синтетический: даёт наилучшее геометрическое понимание (гомотетия, связь $N$ с $O,H$, интуитивные преобразования). Недостаток — требует использования нескольких геометрических лемм (свойства пересечений высот с описанной окружностью) и иногда более громоздкой строгой формулировки этих лемм.
- Аналитический (координатный): даёт строгие вычисления и явные формулы для центра и радиуса; удобен для проверки численно и для задач, где нужны явные координаты. Минус — алгебра может быть громоздкой и скрывать геометрическую «идею».
- Векторный/комплексный: сочетает компактность и строгость; очень удобно при выборе начала в $O$ (или использовании единичной окружности в комплексном виде): быстро получается $h=a+b+c$ и $n=h/2$, а затем равенство расстояний. Ограничение: требует удобной системы координат/предварительных фактов (например, формулы для ортоцентра в выбранной системе).
Возможные обобщения и связанные результаты.
- Теорема Фойербаха: девятиточечная окружность касается вписанной окружности и трёх описанных окружностей (эксцентров) треугольника.
- Общение с линией Эйлера: точки $O,N,H$ колинеарны, $N$ — середина $OH$, связь радиусов: $ON:NH=1:1$, $NH=R$.
- Обобщения в пространстве: для тетраэдра существуют аналогичные «сферические» результаты (сфера через середины рёбер и некоторые другие характерные точки — «двенадцатиточечная сфера» и т.п.).
- Обобщения по отношению к произвольной точки $P$: сколь угодно можно изучать «педальную» и «серединную» конфигурации и их описанность на конусах/окружностях; частные случаи дают классические круги (напр., окружность Медіаны, окружность шести точек для ортогональной проекции и т.д.).
- Алгебраические обобщения: векторы/комплексный подходы легко переносятся на ситуации с другими древовидными или симметричными преобразованиями (гомотетии, отражения), что даёт способ строить аналогичные «образные» окружности.
Краткое резюме. Девятиточечная окружность — образ описанной окружности под гомотетией с центром ортоцентра и коэффициентом $1/2$; её центр $N$ — середина $OH$, радиус $R/2$. Синтетическое доказательство даёт геометрическую картину, аналитическое — явные вычисления, векторное/комплексное — компактность и простоту формул; все три подхода дополняют друг друга и позволяют получать естественные обобщения (Фойербах, 3D-аналогии и т.д.).