Кратко — идея: выбрать инверсию так, чтобы один из объектов (удобно — данная окружность или вершина угла) превратился в прямую; тогда задача сводится к построению окружности, касающейся трёх прямых (решается через инцентры/эксцентры). Ниже — детально и смены случаев.
Основные свойства инверсии, которыми пользуемся:
- при инверсии с центром $O$ и радиусом $R$ точка $P$ переходит в $P^{\prime }$ так, что $OP\cdot O{P}^{\prime }=R^2$;
- инверсия сохраняет касание;
- прямая, проходящая через $O$, отображается в себя; окружность, проходящая через $O$, отображается в прямую и обратно; окружность, не проходящая через $O$, отображается в окружность, не проходящую через $O$.
Случай A. Две непараллельные прямые $l_1,l_2$ пересекаются в $O$, и данная окружность $S$ проходит через $O$.
1. Сделать инверсию с центром в $O$ (любой радиус $R$). Тогда $S$ превращается в прямую $s$, а $l_1,l_2$ (так как проходят через $O$) остаются прямыми.
2. Задача свелась к построению окружности, касающейся трёх прямых $l_1,l_2,s$. Это стандартно: три непараллельные прямые образуют треугольник (или звезду); решения — его инцентр(ы)/эксцентр(ы). Построить точку пересечения биссектрис соответствующего треугольника — это центр искомой окружности $S^{\prime }$; радиус — расстояние до одной из прямых.
3. Инвертировать найденную окружность $S^{\prime }$ обратно — получаем решение в начальной задаче. (Инверсия сохранит касания.)
Случай B. $S$ не проходит через $O$.
В этом случае нельзя прямо получить из $S$ прямую при инверсии с центром $O$. Практически удобны два варианта:
Вариант B1 (удобен, если на окружности легко взять точку на биссекторе):
- Постройте одну из биссекторных прямых уголка $l_1,l_2$; она пересекает окружность $S$ в двух точках. Выберите точку $P$ из их пересечений.
- Выполните инверсию с центром в $P$ и радиусом $R$ (любой). Тогда $S$ перейдёт в прямую $s$. Прямые $l_1,l_2$ перейдут в окружности, проходящие через $P$.
- Задача теперь: построить окружность, касающуюся прямой $s$ и двух окружностей, проходящих через $P$. Это сводится к задаче касания двух окружностей и прямой — где можно применить элементарные построения (гомотетии, вспомогательные инверсии вокруг $P$ и т. п.). После нахождения решения — инвертировать обратно.
Вариант B2 (альтернативный, аналитико-геометрический подход без дополнительных инверсий):
- Центр искомой окружности лежит на биссекторе угла $l_{1}O{l}_2$. Пусть расстояние от вершины $O$ до центра равна $s$, угол между полубиссекторами $\theta$ (т. е. угол между $OX$ и одной из прямых равен $\theta$). Тогда радиус искомой окружности $r$ связан с $s$ соотношением $r=s\sin \theta$.
- Условие касания с данной окружностью радиуса $\rho$ и центром $C$ даёт $|XC|=r\pm \rho .$ Подставляя $r=s\sin \theta$ получаем уравнение для положения точки $X$ на биссекторе, которое геометрически решается пересечением биссектора с двумя окружностями (или гиперболой, редуцируемой к построению с помощью преобразований). Этот способ приводит к количественному построению без смены типов объектов.
Комментарии по практическому выбору центра/радиуса инверсии:
- Идеальная инверсия — та, которая превращает один сложный объект в прямую (обычно — данную окружность $S$ в прямую), т.к. задача с прямыми решается проще. Для этого центр инверсии выбирают на окружности $S$.
- Часто удобнее взять центр инверсии в вершине угла $O$, потому что прямые остаются прямыми и сохраняется симметрия угла; тогда, если $S$ проходит через $O$, всё превращается в «три прямые». Если $S$ не проходит через $O$, ставят центр на пересечении $S$ с биссектором, чтобы сделать $S$ прямой и не слишком усложнить образы $l_1,l_2$.
Обобщение в стереометрии:
- В трёхмерии инверсия в сфере (радиуса $R$, центр $O$) обладает аналогичными свойствами: плоскость, проходящая через $O$, отображается в себя; плоскость, не проходящая через $O$, отображается в сферу, проходящую через $O$; сфера, проходящая через $O$, отображается в плоскость и т. д. Касание сохраняется.
- Значит, задача «построить сферу, касающуюся двух ненаправленных плоскостей (пересекающихся по прямой) и заданной сферы» решается аналогично: выбрать инверсию с центром на линии пересечения плоскостей или на заданной сфере, чтобы одна из фигур превратилась в плоскость, а затем решить задачу касания сфер и плоскостей (сводится к нахождению вписанной/описанной сферы трёх плоскостей или к задаче двух сфер и плоскости). Используют те же приёмы: перевод задачи в более простую конфигурацию (плоскости ↔ сферы) и обратную инверсию.
- Аналогично решаются задачи касания сферы и нескольких поверхностей общего вида — инверсия часто сводит сложные поверхности к плоскостям и сферам, где касание и гомотетии легко контролируются.
Короткая сводка шагов (практическая инструкция):
1. Если данная окружность проходит через точку пересечения прямых $O$: инвертировать относительно $O$ → получить три прямые → найти инцентры/эксцентры → инвертировать назад.
2. Если нет: выбрать центр инверсии на данной окружности (удобно — точка пересечения с биссектором) → данная окружность станет прямой → решить задачу касания двух окружностей (образы прямых) и прямой → инвертировать назад.
3. Проверить все варианты знака в условии касания ($r\pm \rho$) — даёт все возможные решения (до четырёх).
Если нужно — могу привести пошаговое построение (компас/линейка) для конкретного числового примера или более формальную схему для варианта B1/B2.