Задача (конкретный пример). Пусть в треугольнике $ABC$ точки $A_1\in BC,B_1\in CA,C_1\in AB$. Докажите критерий совпадения (Чева) и его тригонометрический вариант:
Чева:
$$\frac{B{A}_1}{A_{1}C}\cdot \frac{C{B}_1}{B_{1}A}\cdot \frac{A{C}_1}{C_{1}B}=1$$
Тригонометрическая Чева:
$$\frac{\sin \angle BA{A}_1}{\sin \angle CA{A}_1}\cdot \frac{\sin \angle CB{B}_1}{\sin \angle AB{B}_1}\cdot \frac{\sin \angle AC{C}_1}{\sin \angle BC{C}_1}=1.$$
Ниже — три способа доказательства (сжатые, но достаточные для сравнения).
1) Классическая синтетика (площади, подобие).
- Чева через площади. Обозначим площади треугольников через $[\cdot ]$. Для точки $A_1\in BC$ $$\frac{B{A}_1}{A_{1}C}=\frac{[AB{A}_1]}{[A_{1}AC]}$$ и аналогично для других. Если лучи $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ пересекаются в одной точке $P$, то, разбивая треугольник на три пары маленьких треугольников с общими высотами, получаем произведение выше равным $1$. Обратная часть — тот же рассчёт в обратном порядке. Это коротко и чисто геометрически: опирается на равенства площадей (или высот).
- Тригонометрическая форма: заменить формулу площади $[XYZ]=\frac{1}{2}XY\cdot XZ\sin \angle YXZ$. Для $A_1\in BC$ $$\frac{B{A}_1}{A_{1}C}=\frac{[AB{A}_1]}{[A_{1}AC]}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot A{A}_1\sin \angle BA{A}_1}{\frac{1}{2}AC\cdot A{A}_1\sin \angle CA{A}_1}=\frac{AB}{AC}\cdot \frac{\sin \angle BA{A}_1}{\sin \angle CA{A}_1}.$$ Перемножив циклически и сократив отношения $AB/AC\cdot BC/BA\cdot CA/CB$, получаем тригонометрическую форму. Этот метод даёт ясную геометрическую интерпретацию (площади, углы).
Плюсы: очень наглядно, коротко, хорошо объясняет смысл формул; естествен для задач с углами и площадями.
Минусы: при усложнении конфигурации (окружности, касательные, точки на продолжениях, проективные соотношения) синтетика может потребовать хитрого инженерирования и громоздких наблюдений.
2) Координаты (аффинные/декартовы).
- Удобный выбор: положим $A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)$. Параметризуем точки:
$$A_1=(1-t,t),B_1=(0,1-u),C_1=(v,0),$$ тогда
$$\frac{B{A}_1}{A_{1}C}=\frac{t}{1-t},\frac{C{B}_1}{B_{1}A}=\frac{u}{1-u},\frac{A{C}_1}{C_{1}B}=\frac{v}{1-v}.$$ Уравнения прямых:
$$A{A}_1:y=\frac{t}{1-t}x,B{B}_1:y=(1-u)(1-x),C{C}_1:y=1-\frac{x}{v}.$$ Решая системы (например, пересечение первых двух и проверяя принадлежность третьей), после элементарных алгебраических преобразований получаем условие
$$\frac{t}{1-t}\cdot \frac{u}{1-u}\cdot \frac{v}{1-v}=1,$$ что эквивалентно требуемому варианту Чевы при переходе к отношений отрезков. Аналогично можно вывести тригонометрическую форму, если вместо координат ввести уравнения в виде тангенсов/углов.
Плюсы: метод алгоритмичен, легко довести до конкретного численного ответа или проверить частный случай; удобен для компьютерной алгебры и для задач с длинами/координатами/оптимизацией.
Минусы: вычисления могут быть громоздки, выбор координат может «сломать» симметрию и скрыть геометрическую причину; обработка касательных к окружности или проективных соотношений требует перехода к более сложным уравнениям (рациональные функции).
3) Барицентрические / тринейлярные координаты.
- В тринейлярных координатах точка на стороне $BC$ записывается как $(0:\beta :\gamma )$, и отношение отрезков связано с отношением координат: для $A_1\in BC$ $$\frac{B{A}_1}{A_{1}C}=\frac{\gamma }{\beta }.$$ Если взять тринейлярные координаты для всех трёх точек:
$$A_1=(0:{\beta }_1:{\gamma }_1),B_1=({\alpha }_2:0:{\gamma }_2),C_1=({\alpha }_3:{\beta }_3:0),$$ то стандартная алгебра (линейные уравнения прямых, условие перестановки коэффициентов или нулевой детерминант матрицы строк) даёт критерий Чевы в форме
$${\beta }_1{\gamma }_2{\alpha }_3={\gamma }_1{\alpha }_2{\beta }_3,$$ что равносильно продуктовой форме Чевы. Тринейлярная версия тригонометрической Чевы тоже естественна: тринейляры прямо выражают отношения синусов углов, поэтому тригонометрическая Чева получается почти «в одну строчку». Барицентрики аналогично удобны, когда данные заданы как отношения длин сторон (весовые коэффициенты).
Плюсы: идеально приспособлены к задачам, где вершинами являются $A,B,C$; многие условия (конкуренция, коллинеарность) сводятся к простым линейным или детерминантным условиям; легко обрабатывать касательные (через тринейлярную запись касательной к описанной окружности) и симметрии. Отлично подходят для систематического вычисления центров, симметрий, изогональных преобразований.
Минусы: требуют знания формализма; для интерпретации результата нужна практика; работа с евклидовыми расстояниями и явными координатами точек (в привычном виде) иногда менее прозрачна; особые случаи (точки в вершинах, бесконечность) нужно обрабатывать аккуратно (псевдокоординаты, нормировки).
Краткое сравнение и рекомендация:
- Если нужна быстрая, наглядная доказательная причина (почему продукт отношений равен 1), используйте синтетику (площади, подобие, углы). Особенно удобно для тригонометрической Чевы.
- Если надо проверить конкретный числовой случай или провести алгебраические вычисления/симуляции — координаты (декартовы) дают прямой алгоритм.
- Для обобщений, компактных формул, работы с центрами, касательными и проективными/тригонометрическими формами — тринейлярные/барицентрические координаты наиболее экономичны и мощны.
Итог: выбор метода зависит от цели — понимание (синтетика), вычисление (декартовы), систематика и общие формулы/симметрии (барицентр./тринейляр).