Конструкция (кратко и однозначно).
1) Пусть даны положительные числа $m_a,m_b,m_c$. Проверьте треугольные неравенства
$$m_a<m_b+m_c,m_b<m_c+m_a,m_c<m_a+m_b.$$ Если одно из них нарушается — треугольника с такими медианами не существует; при равенстве — будет вырожденный случай (см. ниже).
2) Постройте треугольник $PQR$ со сторонами длины
$$\frac{2}{3}{m}_a,\frac{2}{3}{m}_b,\frac{2}{3}{m}_c.$$
3) Возьмите произвольную точку $G$. Перенесите (параллельным переносом) ориентированные векторы сторон треугольника $PQR$ так, чтобы их начала совпали с $G$. Концы этих трёх векторов дадут точки $A,B,C$. Треугольник $ABC$ — искомый: его медианы имеют длины $m_a,m_b,m_c$ и центроид равен $G$. (Если требуются имена вершин, сопоставьте стороны треугольника $PQR$ с соответствующими медианами.)
Доказательство существования и метода.
Поместим центроид $G$ в начало координат; тогда для векторов вершин $A,B,C$ имеем $A+B+C=0$. Длина вектора от центра до вершины связана с медианой: если $m_a$ — медиана из вершины $A$, то $|A|=\frac{2}{3}{m}_a$ (потому что медиана $AM$ удовлетворяет $|AM|=\frac{3}{2}|A|$). Следовательно требуется найти три вектора с длинами $\frac{2}{3}{m}_a,\frac{2}{3}{m}_b,\frac{2}{3}{m}_c$, сумма которых равна нулю. Такое замыкание векторов эквивалентно построению треугольника со сторонами этих длин; поэтому треугольные неравенства на $\frac{2}{3}{m}_i$ (эквивалентные указанным неравенствам на $m_i$) являются необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения. Шаги конструкции реализуют именно этот перенос векторов от общей точки $G$.
Единственность (с точностью до параллельного переноса).
Треугольник $PQR$ длины сторон которого $\frac{2}{3}{m}_a,\frac{2}{3}{m}_b,\frac{2}{3}{m}_c$ однозначен с точностью до движения (конгруэнтности). Перенос ориентированных сторон от точки $G$ даёт треугольник $ABC$ с $A+B+C=0$; любая другая тройка вершин с теми же медианами отличается только положением центроида — то есть треугольник уникален с точностью до параллельного переноса (и поворота/симметрии, встроенных в неоднозначность конгруэнтности треугольника $PQR$).
Вычисление сторон (формула).
Стороны исходного треугольника можно выразить через квадраты медиан. Из формул Апполония получаем систему
$$4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2,4m_b^2=2c^2+2a^2-b^2,4m_c^2=2a^2+2b^2-c^2.$$ Решая, получаем явные выражения
$$a^2=\frac{4}{9}(2m_b^2+2m_c^2-m_a^2),b^2=\frac{4}{9}(2m_c^2+2m_a^2-m_b^2),c^2=\frac{4}{9}(2m_a^2+2m_b^2-m_c^2).$$ Необходимо, чтобы правые части были положительны; при выполнении треугольных неравенств для $m_i$ это условие соблюдается для ненулевого треугольника.
Случаи вырождения и несовместимости.
- Если какое‑то неравенство $m_a<m_b+m_c$ нарушено (т.е. $m_a\ge m_b+m_c$), то треугольника с такими медианами не существует (при строгом «$\ge$» — несовместимость); при равенстве $m_a=m_b+m_c$ треугольник вырождается: все три вершины коллинеарны (площадь = 0).
- Если хотя бы один $m_i=0$, то две вершины совпадают — вырождение.
- Если треугольные неравенства выполнены строго и формулы для $a^2,b^2,c^2$ дают положительные значения, то существует уникальный (до переноса) невырожденный треугольник.
Краткое резюме: положительные числа $m_a,m_b,m_c$ являются длинами медиан некоторого невырожденного треугольника тогда и только тогда, когда они удовлетворяют треугольным неравенствам; в этом случае треугольник восстанавливается построением треугольника со сторонами $\frac{2}{3}{m}_a,\frac{2}{3}{m}_b,\frac{2}{3}{m}_c$ и переводом его сторон в векторы от центроида; решение единственно с точностью до параллельного переноса.