Пусть в искомом треугольнике $ABC$ заданы: угол при вершине $A$ (величина $\alpha$), длина медианы из $A$, $m_a=AM$, и длина внутренней биссектрисы из $A$, $l_a=AL$. (Подразумевается, что медиана и биссектриса — внутренние.) Обозначим $AB=c,AC=b$. Цель: построить $B,C$ на лучах, образующих угол $\alpha$ в точке $A$.
1. Вывод алгебраических связей (коротко и нужные формулы).
- По теореме косинусов $B{C}^2=a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$.
- Формула длины медианы:
$$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}.$$ Подставляя $a^2$, получаем
$$4m_a^2=b^2+c^2+2bc\cos \alpha .$$ - Формула длины биссектрисы:
$$l_a=\frac{2bc}{b+c}\cos \frac{\alpha }{2}.$$ Введём $s=b+c$ и $v=bc$. Тогда из второй формулы
$$v=\frac{l_{a}s}{2\cos \frac{\alpha }{2}}.$$ Подставляя в формулу для $m_a$ получаем квадратичное уравнение для $s$:
$$s^2+\frac{l_a(\cos \alpha -1)}{\cos \frac{\alpha }{2}}s-4m_a^2=0.$$ Обозначим коэффициент
$$T=\frac{l_a(\cos \alpha -1)}{\cos \frac{\alpha }{2}}.$$ Тогда
$$s=\frac{-T\pm \sqrt{T^2+16m_a^2}}{2}.$$ После нахождения $s$ получаем
$$v=bc=\frac{l_{a}s}{2\cos \frac{\alpha }{2}},$$ и наконец $b$ и $c$ — корни квадратного уравнения
$$t^2-st+v=0,$$ т.е.
$$b,c=\frac{s\pm \sqrt{s^2-4v}}{2}.$$
2. Конструкция циркулем и линейкой (практические шаги).
- Вершину $A$ и два луча, образующие угол $\alpha$, построить по заданному $\alpha$.
- По заданной длине $l_a$ на биссектрисе угла $A$ отложить точку $L$ (это поможет визуализации, но аналитически ниже не требуется).
- Арифметические операции (сложение, умножение на константу, извлечение квадратного корня) выполняются стандартными геометрическими приёмами (строят отрезки-репрезентанты чисел, используют подобие треугольников и окружности для получения произведения/частного и корня). Конкретно:
- Построить отрезок, соответствующий величине $T=\frac{l_a(\cos \alpha -1)}{\cos (\alpha /2)}$. (Длины $\cos \alpha$ и $\cos (\alpha /2)$ можно получить геометрически через единичный отрезок и прямоугольный треугольник со заданным углом.)
- Построить дискриминант $D_1=T^2+16m_a^2$ и его корень $\sqrt{D_1}$ (геометрическое извлечение квадратного корня через среднюю пропорцию).
- Получить возможные значения $s=\frac{-T\pm \sqrt{D_1}}{2}$.
- Для каждого положительного $s$ построить $v=\frac{l_{a}s}{2\cos (\alpha /2)}$, затем дискриминант $D_2=s^2-4v$ и $\sqrt{D_2}$.
- Получить $b,c=\frac{s\pm \sqrt{D_2}}{2}$ — два положительных значения (если $D_2\ge 0$ и сумма положительна).
- На лучах от $A$ отложить отрезки $AB=c$ и $AC=b$ (в обоих вариантах выбора знаков). Соединить полученные точки — это искомые треугольники.
3. Условие существования и единственность.
- Алгебраически получаются максимум две положительные суммы $s$ (из $\pm$ при вычислении) и для каждой $s$ максимум два значения $b,c$ (их перестановка даёт той же паре сторон, но соответствует перестановке меток $B\leftrightarrow C$). В результате не более двух геометрически различимых треугольников.
- Фактически:
- Если для обоих знаков подкоренного выражения $D_2<0$, реальных треугольников нет.
- Если ровно одно значение даёт $D_2=0$, единственное (с точностью до симметрии относительно биссектрисы) решение.
- В общем случае может быть два неравных решения (двойственность связана с выбором корня в формуле для $s$); обмен $b$ и $c$ даёт треугольник, симметричный относительно биссектрисы — это не новая по сути конструкция, если метки вершин не различаются.
- Частный случай: при $b=c$ (треугольник равнобедренный) медиана и биссектриса из $A$ совпадают; тогда требуется $l_a=m_a$ и задача сводится к однозначной постройке двух равных боковых сторон.
4. Устойчивость к погрешностям (качество решения).
- Построение сводится к решению двух квадратичных уравнений: численно погрешности в $l_a$, $m_a$, $\alpha$ проходят через операции умножения/сложения и извлечения корня. Устойчивость нарушается при малых значениях дискриминантов:
- если $D_1=T^2+16m_a^2$ близко к нулю (на практике это маловероятно, т.к. $16m_a^2$ положительно), нет особой опасности;
- основная проблема — когда $D_2=s^2-4v$ близко к нулю: тогда корень $\sqrt{D_2}$ чувствителен к малым ошибкам, и малое относительное изменение исходных данных даёт большое относительное изменение частного $b-c$. То есть при близости к касательному случаю решение плохо устойчево.
- Практическая рекомендация: при измерениях отдать предпочтение повышенной точности отрезков $l_a$ и $m_a$ и угла $\alpha$; если после вычислений дискриминант $D_2$ очень мал, считать задачу плохо обусловленной и ожидать сильного разброса при малых ошибках.
5. Модификации для вырожденных или пограничных случаев.
- Если $\cos \frac{\alpha }{2}=0$ (т.е. $\alpha =\pi$), задача не имеет смысла (угол не внутренний).
- Если $l_a=0$ или $m_a=0$ — вырожденные случаи: $l_a=0$ означает, что $A$ есть вершина с нулевой биссектрисой (невозможное для невырожденного треугольника внутреннее значение); $m_a=0$ невозможно для ненулевой стороны.
- Если обнаружено $l_a=m_a$ и одновременно конструкция даёт $b=c$, берём равнобедренный вариант: строим на лучах от $A$ равные отрезки, рассчитанные из формулы для $m_a$ при $b=c$.
- Если $D_2$ близко к нулю (почти вырождение), можно:
- либо использовать дополнительно контрольные данные (например, ещё одно расстояние до одной вершины) для стабилизации,
- либо применять численную корректировку: аппроксимировать стороны методом наименьших квадратов по измерениям $m_a,l_a,\alpha$.
Короткая сводка: задача редуцируется к двум квадратикам, которые разрешимы циркулем и линейкой (сумма, произведение, извлечение квадратного корня — стандартные геометрические операции). Количество решений — до двух (с учётом симметрии), устойчивость хорошая за исключением случаев, когда внутренние дискриминанты близки к нулю; вырождённые граничные случаи следует обрабатывать отдельными частными построениями (равнобедренный случай и т.п.).