Ниже A — вершина исходного треугольника ABC; на сторонах AB и AC построены наружные равнобедренные треугольники ABD и ACE с вершинами D и E (т. е. AD = BD и AE = CE). Обозначим внутренние углы треугольника ABC через
$\alpha =\angle BAC,\beta =\angle ABC,\gamma =\angle ACB$.
Обозначим также базовые углы построенных равнобедренных треугольников
$\phi =\angle DAB=\angle DBA,\psi =\angle EAC=\angle ECA$.
Дальше — утверждения и доказательства (кратко и по существу).
1) Элементарные равенства и выражения для сторон
- По построению $AD=BD,AE=CE$.
- В равнобедренном $△ABD$ база $AB$ выражается через боковую $AD$ и базовый угол $\phi$:
$$AB=2AD\cos \phi .$$ Аналогично
$$AC=2AE\cos \psi .$$ Доказательство: в $△ABD$ угол при вершине $D$ равен $180^{\circ }-2\phi$; половина этого угла равна $90^{\circ }-\phi$, поэтому высота из $D$ на $AB$ равна $AD\sin (90^{\circ }-\phi )=AD\cos \phi$; база $AB$ — двойная проекция, отсюда formula.
Следствие: отношение сторон
$$\frac{AB}{AC}=\frac{AD\cos \phi }{AE\cos \psi }.$$ Особые случаи: если $AD=AE$ и $\phi =\psi$, то $AB=AC$ (треугольник ABC равнобедренный).
2) Выражение для угла при A через $\phi ,\psi$ и угол между лучами $AD$ и $AE$ Обозначим $\theta =\angle DAE$ (угол между отрезками $AD$ и $AE$, он полностью определяется положением точек $D$ и $E$). Тогда простым угловым счётом (по ориентированным углам вокруг точки A)
$$\theta =\angle DAE=\angle DAB+\angle BAC+\angle CAE=\phi +\alpha +\psi .$$ Отсюда
$$\alpha =\theta -(\phi +\psi ).$$ Это даёт явную связь: если известны $\theta ,\phi ,\psi$ — то $\alpha$ однозначно определяется; если $\theta$ и, скажем, $\phi ,\psi$ неизвестны отдельно, то возможны неоднозначности (см. пункт 4).
3) Случай совпадения точек D и E
D и E совпадают (пускай $P=D=E$) тогда
$$PA=PB\text{и}PA=PC,$$ поэтому $PA=PB=PC$. То есть совпадение $D=E$ равносильно тому, что эта общая точка является центром окружности, проходящей через $A,B,C$ (окружность, описанная около $△ABC$). И наоборот: центр описанной окружности лежит одновременно на перпендикулярных биссекторах отрезков $AB$ и $AC$, поэтому при выборе апексов равнобедренных треугольников на тех биссекторах оба апекса могут совпасть с центром окружности. Следовательно:
- $D=E$ тогда и только тогда, когда выбранная точка совпадает с окружностным центром (circumcenter) треугольника $ABC$.
4) Симметрии и однозначность определённости углов
- Если $\phi =\psi$ и при том $AD=AE$, то по пункту 1 имеем $AB=AC$, т. е. $\beta =\gamma$ (треугольник ABC равнобедренный).
- В общем случае позиция точек $D$ и $E$ даёт значение $\theta =\angle DAE$ и расстояния $AD,AE$. Если дополнительно известны $\phi$ и $\psi$ (то есть известны сами равнобедренные треугольники по углам при основании), то по формуле пункта 2 угол $\alpha$ однозначно определяется: $\alpha =\theta -(\phi +\psi )$; тогда по пункту 1 отношение $AB:AC$ определяется формулой $\frac{AB}{AC}=\frac{AD\cos \phi }{AE\cos \psi }$, а затем по теореме синусов можно найти и остальные углы $\beta ,\gamma$. Итак: знание $(D,E)$ вместе с известными базовыми углами построенных равнобедренных треугольников даёт полную однозначность формы $△ABC$.
- Если же известны только точки $D$ и $E$ (без информации о том, какими углами были построены равнобедренные треугольники, т. е. без $\phi ,\psi$ или без длин $AD,AE$), то угол $\alpha$ в общем случае не определяется однозначно — возможна двузначность (симметричные варианты), кроме специальных симметрий, когда геометрические условия приводят к единственному решению (например, когда дополнительно известно, что $AD=AE$ и $\theta$ фиксирован, или когда $\phi ,\psi$ заданы).
5) Некоторые характерные частные случаи (коротко)
- Если $\phi +\psi =\theta$, то по формуле пункта 2 $\alpha =0$ — вырождающийся случай (лежат на одной прямой).
- Если $\phi =\psi$ (равные построенные углы при A), то $\alpha =\theta -2\phi$; при этом при равенстве также $AD=AE$ получается равенство боковых сторон $AB=AC$.
- Если $AD=AE$ (апексы отстоящие от A одинаково), то из пункта 1 сразу $\frac{AB}{AC}=\frac{\cos \phi }{\cos \psi }$ — отношение сторон выражается только через базовые углы $\phi ,\psi$.
Краткое резюме:
- исходный факт: $AD=BD,AE=CE$, $\phi =\angle DAB,\psi =\angle EAC$;
- формулы: $AB=2AD\cos \phi ,AC=2AE\cos \psi ,\alpha =\angle DAE-(\phi +\psi )$;
- совпадение $D=E$ ⇔ точка — центр описанной окружности треугольника ABC;
- если известны $\theta =\angle DAE,\phi ,\psi$ и/или $AD,AE$, то углы и стороны $△ABC$ определяются однозначно по приведённым формулам; в отсутствии этих данных возможны симметрии и неоднозначности.
Если нужно, могу дать наглядные чертежи и пошаговые доказательства каждой формулы (например, выводы $AB=2AD\cos \phi$ и $\alpha =\theta -(\phi +\psi )$) или рассмотреть конкретные численные примеры.