Ключевая наблюдаемая связь (необходимое и часто достаточное условие)
- Для тетраэдра с вершинами $p_0,p_1,p_2,p_3\in {\mathbb{Z}}^3$ объём вычисляется по векторной детерминанте:
V=16∣det⁡(v1,v2,v3)∣,vi=pi−p0.V=\frac{1}{6}\bigl|\det(v_1,v_2,v_3)\bigr|,\qquad v_i=p_i-p_0.V=61 det(v1 ,v2 ,v3 ) ,vi =pi −p0 . Отсюда для любого тетраэдра с целочисленными вершинами $6V\in \mathbb{Z}$. Это необходимое условие и часто первое ограничение при задаче построения.
Построение отдельного тетраэдра
- Условие и конструктивность: тетраэдр с заданным объёмом $V$ существует в ${\mathbb{Z}}^3$ тогда и только тогда, когда $N:=6V$ — целое неотрицательное число. Простейшая конструкция:
$$p_0=(0,0,0),p_1=(N,0,0),p_2=(0,1,0),p_3=(0,0,1),$$ и действительно $\det (p_1-p_0,p_2-p_0,p_3-p_0)=N$, значит $V=N/6$.
Объём тетраэдра через площадь основания и высоту; удобное средство для сборки
- Если три вершины образуют базисный треугольник с площадью
A=12∣det⁡(u,v)∣ A=\frac{1}{2}\bigl|\det(u,v)\bigr|
A=21 det(u,v) (для целочисленных векторов $u,v$ площадь кратна $1/2$), а четвёртая вершина находится на высоте $h$ (целое) над плоскостью основания, то
V=13Ah=h3⋅12∣det⁡(u,v)∣=16(h⋅det⁡(u,v)). V=\frac{1}{3}A h=\frac{h}{3}\cdot\frac{1}{2}\bigl|\det(u,v)\bigr|=\frac{1}{6}\bigl(h\cdot\det(u,v)\bigr).
V=31 Ah=3h ⋅21 det(u,v) =61 (h⋅det(u,v)). Опять получаем кратность $1/6$. Это даёт конструктивный способ: выбрать базу с нужной площадью (целое значение $\det (u,v)$) и регулировать высоту целым $h$.
Сборка многогранника из тетраэдров — ограничения совместимости
- Необходимые условия при заданных объёмах тетраэдров в триангуляции многогранника:
1. Для каждого тетраэдра $6V_i\in \mathbb{Z}$.
2. Сумма объёмов тетраэдров, покрывающих полное тело, должна равняться требуемому общему объёму.
3. При совпадающих (общих) гранях треугольник должен быть один и тот же у обеих тетраэдров — это даёт системы диофантовых уравнений на координаты вершин (в частности площади общих треугольников и высоты по отношению к ним должны быть согласованы).
- В общем случае задача «найти целочисленные координаты, реализующие заданный набор объёмов тетраэдров с общими гранями» сводится к системе целочисленных уравнений на детерминанты; это Diophantine–задача и может быть невыполнимой даже при выполнении простого условия $6V_i\in \mathbb{Z}$, если требуются дополнительные согласования.
Уницелые (unimodular) преобразования и нормализация
- Преобразования из $GL(3,\mathbb{Z})$ и сдвиги по ${\mathbb{Z}}^3$ сохраняют свойство целочисленности и абсолютную величину детерминанта. Поэтому при конструировании можно сначала привести часть конфигурации к удобному «каноническому» виду, затем строить остальные вершины — это часто упрощает поиск решений.
Примеры и конкретные конструкции
- Единичный тетраэдр: вершины
$$(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$$ дают объём $1/6$.
- Единичный куб $[0,1{]}^3$ имеет объём $1$ и может быть разбит на $6$ тетраэдров, каждый объёмом $1/6$ (убедиться можно, взяв все тетраэдры с общей вершиной $(0,0,0)$ и тремя вершинами, выбираемыми из $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ и их перестановок).
- Поэтому любой набор объёмов, например $V_1=\cdots =V_6=1/6$, реализуется как разложение куба.
Связь с математической кристаллографией
- В кристаллографии базисные векторы решётки задаются векторной матрицей; объём основной ячейки (primitive cell) равен $|\det (a_1,a_2,a_3)|$. В случае стандартной решётки ${\mathbb{Z}}^3$ это $1$.
- Субрешётки и суперячейки: индекс подрешётки в ${\mathbb{Z}}^3$ равен абсолютному значению детерминанта переходной матрицы, и это индекс прямо равен отношению объёмов элементарных ячеек. Это даёт естественную интерпретацию «объёмов» через детерминанты.
- Примеры: структура NaCl как две взаимосвязанные решётки; ячейка кубическая, объём ячейки — целое относительно ${\mathbb{Z}}^3$. Тетраэдральная координация в структурах типа алмаза: тетраэдры атомных окрестностей рассматриваются относительно решётки — их объёмы/ориентации зависят от базисных векторов решётки и поэтому подчиняются вышеописанным детерминантным ограничениям.
- Практически: при моделировании кристаллов числами рациональными/целыми координатами удобны для учёта индексов подрешёток, симметрий и кратностей.
Выводы и практический алгоритм
1. Для каждого заданного объёма $V_i$ проверьте $N_i:=6V_i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$. Если какое‑то $6V_i\notin \mathbb{Z}$, реализация в ${\mathbb{Z}}^3$ невозможна.
2. Выберите триангуляцию многогранника, чтобы задать, какие тетраэдры должны иметь общие грани. Это определит систему уравнений на детерминанты.
3. Для простых случаев (тетраэдры с общей вершиной или с общим основанием) используйте конструкцию «площадь основания — целая детерминанта / высота целая» или диагональную матрицу (например, $\mathrm{diag}(N,1,1)$) для явной сборки.
4. При сложных взаимосвязях решайте соответствующую целочисленную систему или покажите несовместимость (несовпадение площадей/высот, несоответствие сумм и т.д.).
Короткий итог: целочисленность координат даёт простое необходимое ограничение $6V\in \mathbb{Z}$ и делает задачу сводимой к уравнениям на детерминанты; одиночные тетраэдры и многие естественные сборки реализуемы конструктивно (например, через диагональные матрицы или базу+высоту), но для произвольного набора объёмов с жёсткими условиями совпадающих граней задача становится диофантовой и может не иметь решения.