Краткие факты и критерии.
Определение и производная:
$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$, $ad-bc\ne 0$ (недегерированное преобразование). Производная
$$f^{\prime }(z)=\frac{ad-bc}{(cz+d{)}^2}.$$
1) Углы.
- На любой точке $z$ с $cz+d\ne 0$ преобразование голоморфно с ненулевой производной, значит оно конформно: сохраняет величины и ориентированные знаки углов между гладкими кривыми. Внутренние углы многоугольника при образе сохраняются (если вершина не переходит в бесконечность).
- Исключение: если вершина $z$ удовлетворяет $cz+d=0$ (полю $z_0=-d/c$), то $f(z)=\infty$ и понятие конечного угла в образе теряет смысл.
2) Ориентация.
- Поскольку $f$ голоморфно с ненулевой производной на области определения, оно сохраняет ориентацию (умножение касательного вектора на ненулевое комплексное число сохраняет ориентированный угол).
3) Касательная структура.
- Касательный вектор $v$ в точке $z$ переходит в касательный вектор $f^{\prime }(z)v$ в точке $f(z)$. Следовательно, направление касательной и её углы со смежными касательными сохраняются.
- Если ребро (отрезок) проходит через полю $z_0=-d/c$, то его образ «идёт в бесконечность» (отрезок переходит в бесконечную прямую/луч в образе).
4) Прямые и окружности.
- Общий факт: любое обобщённое окружность (т. е. прямая или окружность) переходит под $f$ в обобщённую окружность.
- Более конкретно: образ прямой $L$ — это прямая тогда и только тогда, когда $L$ содержит полю $z_0=-d/c$. В противном случае образ $L$ — настоящая окружность.
Доказательство критерия: $cz+d=0$ — именно те точки, которые переходят в $\infty$; если прямая проходит через такую точку, её образ проходит через $\infty$, значит это «окружность через $\infty$», т. е. прямая.
5) Когда образ многоугольника остаётся многоугольником со стронями-прямыми?
- Необходи́мо и достаточнo для того, чтобы образ любого (не вырожденного) отрезка-прямой был прямой: $c=0$. При $c=0$ имеем аффинное отображение $f(z)=\alpha z+\beta$ ($\alpha =a/d,\beta =b/d$), оно переводит прямые в прямые и сохраняет форму многоугольника (включая относительные пропорции, углы и ориентацию).
- Если $c\ne 0$, то прямая, не проходящая через $z_0=-d/c$, переходит в окружность, значит для любого невырожденного многоугольника найдётся хотя бы одно ребро, чья прямая не проходит через $z_0$, и его образ — дуга окружности. Следовательно образ в общем случае не будет многоугольником со всеми сторонами прямыми.
- Единственная «теоретическая» возможность иметь все образы сторон прямыми при $c\ne 0$ — если все опорные прямые исходного многоугольника проходили через один общий пункт $z_0$; но тогда все эти прямые пересекаются в одной точке и многоугольник вырожден (вершины совпадают). Таким образом для ненулевого, невырожденного многоугольника критерий: образ будет многоугольником со стронями-прямыми тогда и только тогда, когда $c=0$ (т.е. $f$ — аффинное).
6) Дополнительные вырождения.
- Если $ad-bc=0$, то $f$ постоянна и отправляет весь многоугольник в одну точку.
- Если какая-то вершина переходит в $\infty$ (она равна $-d/c$), то образ многоугольника неполный в конечной плоскости (ребра, примыкающие к этой вершине, станут полу-бесконечными прямыми/дугами).
Короткая сводка:
- Мёбиусово преобразование конформно и ориентирование сохраняет на области определения ($cz+d\ne 0$); касательные трансформируются посредством умножения на $f^{\prime }(z)=\frac{ad-bc}{(cz+d{)}^2}$.
- Прямые переходят в прямые только если проходят через полю $z_0=-d/c$; иначе переходят в окружности.
- Образ невырожденного многоугольника будет многоугольником со всеми сторонами прямыми т. и т. т. только при $c=0$ (аффинное отображение).