Формулировки (эквивалентные).
1) (Классическая, с ориентированными отрезками.) Для треугольника $ABC$ и точек $D\in BC$, $E\in CA$, $F\in AB$ точки $D,E,F$ коллинеарны тогда и только тогда, когда
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=-1,$$ где дроби понимаются как ориентированные отношения (знак учитывает принадлежность отрезка или его продолжения).
2) (Афинная / координатная.) Пусть координаты вершин заданы в аффинной системе; пусть точки $D,E,F$ заданы параметрически на сторонах через параметры $\lambda ,\mu ,\nu$:
$$D=B+\lambda (C-B),E=C+\mu (A-C),F=A+\nu (B-A).$$ Точки $D,E,F$ коллинеарны тогда и только тогда
$$\lambda \mu \nu =1,$$ что эквивалентно формуле (1) при переводе параметров в отношения отрезков.
3) (Гомогенная / проективная, через однородные координаты или сечёные.) В проективной термике Menelaus утверждает: для треугольника и прямой $l$, пересекающей стороны (или их продолжения) в трёх точках, произведение ориентированных делений равно $-1$. Эта формулировка эквивалентна сохранению коллинеарности при проективных преобразованиях; в гомогенных координатах условие коллинеарности даётся детерминантом нулевым, что сводится к той же алгебраической форме.
4) (Двойственная/через Ceva.) Дуальная формулировка (по принципу проектной дуальности): для треугольника $ABC$ и прямых $a\ni A$, $b\ni B$, $c\ni C$ каждая пересекающая противоположную вершину, прямые сопряжённо пересекаются в одной точке тогда и только тогда
$$\frac{B{D}^{\prime }}{D^{\prime }C}\cdot \frac{C{E}^{\prime }}{E^{\prime }A}\cdot \frac{A{F}^{\prime }}{F^{\prime }B}=1,$$ (формула Ceva). Менелай и Ceva — взаимные при проектной дуальности; Menelaus даёт $-1$ из-за ориентации при переходе от коллинеарности к конкуренции.
Короткие доказательства.
A) Доказательство через подобие (стандартное, аффинное). Пусть прямая $l$ пересекает $BC,CA,AB$ в $D,E,F$. Проведя через вершины параллели и рассматривая соответствующие треугольники, получаем подобия, дающие:
$$\frac{BD}{DC}=\frac{\sin \angle BAF}{\sin \angle FAC},\frac{CE}{EA}=\frac{\sin \angle CBD}{\sin \angle DBA},\frac{AF}{FB}=\frac{\sin \angle AEC}{\sin \angle CEB}.$$ Перемножив и упростив (учитывая, что некоторые углы равны по смежности), получаем требуемое $-1$. (Это классический треугольный вывод через теорему синусов в малых треугольниках.)
B) Координатное доказательство. Положим $A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)$. Пусть
$$D=(1-t,t),E=(0,1-s),F=(r,0)$$ (параметры выражают деления сторон). Условие коллинеарности точек $D,E,F$ эквивалентно нулю детерминанта
det⁡(1−tt101−s1r01)=0. \det\begin{pmatrix}1-t & t & 1\\ 0 & 1-s & 1\\ r & 0 & 1\end{pmatrix}=0.
det 1−t0r t1−s0 111 =0. Разложив детерминант и выразив отношения $\frac{BD}{DC}=\frac{1-t}{t}$, $\frac{CE}{EA}=\frac{1-s}{s}$, $\frac{AF}{FB}=\frac{r}{1-r}$, получаем
$$\frac{1-t}{t}\cdot \frac{1-s}{s}\cdot \frac{r}{1-r}=-1,$$ что есть (1).
C) Проективное объяснение. Menelaus инвариантна при проективных преобразованиях (коллинеарность и отношение деления на одной прямой задаются однородными координатами). Поэтому часто удобнее применить проективный перенос, сведя конфигурацию к простой (например, послать $l$ в бесконечно удалённую прямую — тогда условие превращается в условие о параллельности пар сторон) и проверить равносильное соотношение там.
Сравнение областей применимости.
- Планиметрия (евклидова, метрическая). Формулировка (1) удобна для вычислений отрезков и частотных задач (метрические задачи, mass points). Доказательства через подобие и теорему синусов естественны. Подписи (знаки) и учёт продолжений сторон делают формулировку полностью пригодной для геометрических построений и численных задач.
- Аффинная геометрия. Координатная формулировка и параметры $\lambda ,\mu ,\nu$ удобны: Menelaus сводится к простому алгебраическому уравнению $\lambda \mu \nu =1$. Полезно, если разрешено применять аффинные преобразования (сохранение параллельности, отношения делений на прямой).
- Проективная геометрия. Menelaus — естественное проективное утверждение о коллинеарности, выражаемое через ориентированные отношения на прямых или через однородные координаты/кросс-отношения. Проективная версия удобна тогда, когда пользуются проективными преобразованиями (сведение сложной конфигурации к более простой), или при доказательстве дуальности с теоремой Ceva. В проективной геометрии чаще употребляют однородные координаты и свойства проективных отображений.
Примеры, где одна формулировка удобнее другой.
1) Числовая задача в планиметрии.
Пусть в треугольнике $ABC$ прямая пересекает $BC$ в $D$ с $\frac{BD}{DC}=2$ и $CA$ в $E$ с $\frac{CE}{EA}=3$. Найти $\frac{AF}{FB}$.
По Menelaus:
$$2\cdot 3\cdot \frac{AF}{FB}=-1\Rightarrow \frac{AF}{FB}=-\frac{1}{6}.$$ Отрицательный знак означает, что $F$ лежит на продолжении $AB$ за $B$. Здесь классическая формулировка самая прямая.
2) Проективное упрощение конфигурации.
Если прямая $l$, пересекающая стороны треугольника в трудной для вычисления конфигурации, может быть послана проективным преобразованием в бесконечно удалённую прямую, то образы сторон треугольника станут попарно параллельными; тогда условие Menelaus становится условием о соотношениях направлений (очень просто проверяется). После проверки возвращаемся обратным преобразованием. Здесь удобна проективная/гомогенная формулировка (сохранение коллинеарности и однородных соотношений).
Короткое замечание о связях. Menelaus и Ceva — «двойственные» утверждения: Menelaus выражает коллинеарность трёх точек на сторонах треугольника через произведение ориентированных отношений равным $-1$; Ceva выражает конкуренцию трёх cevian через произведение равным $1$. В проективной геометрии переход между ними реализуется дуальностью (точка↔прямая).
Итого: основные формы Menelaus — ориентированные отношения, аффинные параметры и гомогенные/проективные — эквивалентны; выбор зависит от задачи: для численных/планиметрических расчётов — классическая форма, для сокращения конфигурации и использования проективных преобразований — проективная/гомогенная форма.