Обозначим вершину, из которой идут высота, медиана и биссектриса, через $A$; противоположную сторону — $BC$ длиной $a$. Пусть
- высота $AH=h$ (точка $H$ на $BC$),
- медиана $AM=m$ (точка $M$ — середина $BC$),
- биссектриса $AL=l$ (точка $L$ на $BC$).
Пусть координатно положим ось $BC$ на ось $x$. Обозначим абсциссы $B(0,0),C(a,0)$. Тогда $M(a/2,0)$. Точка $A$ имеет координаты $(x_0,h)$. Из медианы
$$m^2=(x_0-\frac{a}{2}{)}^2+h^2,$$ откуда
$$x_0=\frac{a}{2}\pm s,s:=\sqrt{m^2-h^2}.$$ (Необходимое условие существования: $m\ge h$.)
Длины сторон
$$c=AB=\sqrt{x_0^2+h^2}=\sqrt{(\frac{a}{2}\pm s{)}^2+h^2},b=AC=\sqrt{(a-x_0{)}^2+h^2}=\sqrt{(\frac{a}{2}\mp s{)}^2+h^2}.$$
Для внутренней биссектрисы справедлива классическая формула
$$l^2=bc-\frac{bc{a}^2}{(b+c{)}^2}=bc(1-\frac{a^2}{(b+c{)}^2}).$$ Подставив выражения $b,c$ через $a,h,s$, получаем одно уравнение относительно $a$:
$$F(a):=l^2-bc(1-\frac{a^2}{(b+c{)}^2})=0,$$ где $b,c$ — функции $a$ через приведённые корни. Это уравнение определяет длину $a$. После нахождения положительного корня $a$ восстанавливаем
$$x_0=\frac{a}{2}\pm s,A(x_0,h),$$ и далее точки $B(0,0)$ и $C(a,0)$ даются; треугольник построен.
Методики построления (кратко)
1. Аналитический (численный): проверить $m\ge h$. Ввести $s=\sqrt{m^2-h^2}$, записать $b(a),c(a)$ и уравнение $F(a)=0$. Решить его численно (единственный положительный корень даёт решение). Затем восстановить $A,B,C$.
2. Геометрическое редуцирование к пересечению кривых: по условию $AM=m$ и высоте $h$ точка $A$ лежит на двух точках с вертикальной отстанью $h$ от некоторой прямой $BC$ и на окружности радиуса $m$ с центром $M$. Перемещая точку $M$ по прямой, построение сводится к нахождению такой длины $a$, при которой аполлониева точка деления $L$ (делящая $BC$ в отношении $c:b$) лежит на окружности радиуса $l$ с центром $A$. Это даёт конструкцию как пересечение окружности и аполлониевой окружности (в общем случае уравнение даёт кривые до четвёртого порядка); пересечение даёт $a$. На практике это выполняют численно или через построение пересечения кругов/конусных кривых.
Условия существования и единственности
- Необходимое условие: $m\ge h$ (иначе $s$ не существует).
- Необходимо также $l\ge h$ (потому что $l^2=(x_0-t{)}^2+h^2\ge h^2$, где $t$ — абсцисса точки $L$ на $BC$).
- Полное (неявное) условие существования: существует положительное $a$ такое, что для $b,c$ по формулам выше выполняется уравнение $F(a)=0$ и треугольниковые неравенства (в частности $a<b+c$). Это условие гарантирует конструктивное решение.
О единственности: при фиксированных $h,m$ выбирается $s=\sqrt{m^2-h^2}$ (две знакопеременные формулы дают одно и то же треугольник с перестановкой $B\leftrightarrow C$, то есть совпадающее с точностью до симметрии). Функция $a\mapsto l(a)$ по анализу выражений однообразна в физически допустимой области, поэтому уравнение $F(a)=0$ имеет не более одного положительного корня, следовательно (при выполнении условий) треугольник существует и единственен с точностью до симметрии относительно середины $BC$. В редких вырожденных случаях (например, $s=0$, то есть $m=h$) получается изосцелесный случай, когда все три луча совпадают, и решение единственно.
Краткая схема построения на практике
1. Проверить $m\ge h$ и $l\ge h$.
2. Вычислить $s=\sqrt{m^2-h^2}$.
3. Решить уравнение $F(a)=0$ (численно или геометрически) для $a>0$, где $b,c$ — функции $a$ как выше.
4. Построить $BC$ длины $a$, отметить $M$ — середину, затем от $M$ и перпендикуляра к $BC$ отложить точку $A$ так, чтобы $AM=m$ и расстояние до $BC$ равно $h$; проверить $AL=l$.
Итог: задача сводится к одному уравнению по $a$. Необходимые простые проверки: $m\ge h,l\ge h$. При выполнении этих условий (и существовании положительного корня уравнения $F(a)=0$) треугольник определяется единственным образом с точностью до симметрии.