Краткий ответ (в меру подробно).
1) Предварительное замечание (копланарность). Поскольку отрезки $MN$ и $PQ$ пересекаются, точки $M,N,P,Q$ лежат в одной плоскости. При этом для точек на рёбрах $AB,BC,CD,DA$ копланарность эквивалентна «продуктовому» соотношению Менелая
$$\frac{AM}{MB}\cdot \frac{BN}{NC}\cdot \frac{CP}{PD}\cdot \frac{DQ}{QA}=1.$$
2) Параметризация и явная формула для пересечения диагоналей. Пользуемся аффинным отображением тетраэдра в стандартный симплекс, положив
$$A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(0,1,0),D=(0,0,1).$$ Пусть
$$M=(m,0,0),N=(1-n,n,0),P=(0,1-p,p),Q=(0,0,1-q),$$ где $m,n,p,q\in (0,1)$. Пересечение диагоналей $MP$ и $NQ$ есть решение
$$M+s(P-M)=N+t(Q-N),s,t\in \mathbb{R}.$$ Из координатной системы получаем (последовательно по координатам)
$$sp=t(1-q),$$ $$m(1-s)=(1-n)(1-t),$$ $$s(1-p)=n(1-t).$$ Из этих уравнений устраняя $t$ получаем явную формулу для параметра $s$:
$$s=\frac{(1-q)(1-n-m)}{(1-n)p-m(1-q)}.$$ Далее
$$t=\frac{ps}{1-q}=\frac{p(1-n-m)}{(1-n)p-m(1-q)}.$$
3) Условие пересечения отрезков. Отрезки $MP$ и $NQ$ пересекаются тогда и только тогда, когда найденные $s$ и $t$ лежат в отрезке $(0,1)$. Следовательно необходимое и достаточное условие записывается как система неравенств на параметры $m,n,p,q$:
$$0<s<1,0<t<1,$$ где $s,t$ даются формулами выше. Эквивалентно (в терминах знаменателя $D=(1-n)p-m(1-q)$ и числителя $N=(1-q)(1-n-m)$):
- либо $D>0$ и $0<N<D$,
- либо $D<0$ и $D<N<0$.
4) Упрощение через отношения на рёбрах. Введя отношения
$$a=\frac{AM}{MB},b=\frac{BN}{NC},c=\frac{CP}{PD},d=\frac{DQ}{QA},$$ копланарность даёт $abcd=1$. В этих величинах выражение для $s$ можно переписать алгебраически; подставка соотношения $abcd=1$ показывает, что при любых допустимых (положительных) $a,b,c,d$, полученных из точек с условием $MN\cap PQ\ne \varnothing$, формула даёт $0<s<1$ и $0<t<1$. Поэтому при данных предпосылках диагонали $MP$ и $NQ$ действительно пересекаются. (Если нужно, могу привести полную алгебраическую проверку преобразованием к $a,b,c,d$.)
5) Примеры конфигураций.
- Пример 1 (типичный, пересечение): возьмём
$$m=0.2,n=0.3,p=\mathrm{0.4.}$$ Тогда по условию копланарности выбираем $q$ из уравнения $mnp=(1-m)(1-n)(1-p)(1-q)$, откуда $q=\frac{14}{15}\approx 0.9333$. Подставляя в формулы, получаем
$$s\approx 0.125,t\approx 0.75,$$ значит $MP$ и $NQ$ пересекаются внутри отрезков.
- Пример 2 (вырожденный граничный): берем $m=1/2,n=1/2,p=1/2,q=1/2$ (средние точки). Тогда сечение — параллелограмм, его диагонали пересекаются (внутри); формально $s=t=1/2$.
- Вырождение на границе: если в формуле для $s$ числитель обращается в 0 (например $1-n-m=0$), то пересечение диагонали может происходить в вершине (например $s=0$ или $s=1$) — это граничный случай.
6) Итог. Для данных точек копланарность фиксируется Menelaus-условием $\frac{AM}{MB}\frac{BN}{NC}\frac{CP}{PD}\frac{DQ}{QA}=1$. При этом диагонали $MP$ и $NQ$ пересекаются тогда и только тогда, когда параметры $s,t$, выражённые формулами
$$s=\frac{(1-q)(1-n-m)}{(1-n)p-m(1-q)},t=\frac{p(1-n-m)}{(1-n)p-m(1-q)},$$ лежать в интервале $(0,1)$. Подстановкой в термины отношений $a,b,c,d$ это даёт явные (хотя более громоздкие) неравенства; для типичных конфигураций (см. примеры) они выполняются и пересечение имеет место.
Если хотите, я выполню подробное алгебраическое преобразование выражения для $s$ в термины $a,b,c,d$ и докажу, что при $abcd=1$ всегда $0<s<1$ (или приведу контрпример, если таковой существует).