Дано окружность с центром $O(1,-2)$ и радиусом $R=3$ и семейство прямых $y=mx+b$.
Краткая геометрическая идея
- Прямая пересекает окружность в 2 точках, в 1 точке (касание) или не пересекает в зависимости от расстояния от центра $O$ до прямой: если расстояние $d$ меньше, равно или больше радиуса $R$.
Геометрический критерий
- Приведённая форма прямой: $mx-y+b=0$. Расстояние от $O(1,-2)$ до прямой
$$d=\frac{|m\cdot 1-(-2)+b|}{\sqrt{1+m^2}}=\frac{|b+m+2|}{\sqrt{1+m^2}}.$$ - Число пересечений:
- $d<R$ $\Rightarrow$ две точки пересечения;
- $d=R$ $\Rightarrow$ касание (одна точка);
- $d>R$ $\Rightarrow$ пересечений нет.
Аналитический метод (подстановка → квадратное уравнение)
- Подставим $y=mx+b$ в уравнение окружности $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$:
$$(1+m^2)x^2+(-2+2m(b+2))x+((b+2{)}^2-8)=0.$$ Обозначим $A=1+m^2,B=-2+2m(b+2),C=(b+2{)}^2-8$.
- Дискриминант
$$D=B^2-4AC.$$ Соотношение с расстоянием:
$$D=4(1+m^2)(9-d^2).$$ Отсюда условия по знаку $D$ дают те же три случая: $D>0$ — две точки, $D=0$ — касание, $D<0$ — нет пересечений.
- Координаты точек пересечения (если $D\ge 0$):
$$x=\frac{-B\pm \sqrt{D}}{2A},y=mx+b.$$
Специализированные описания семейств прямых
- При фиксированном угловом коэффициенте $m$: пороговые значения $b$, при которых прямая касается окружности, находятся из равенства $d=R$:
$$b=-m-2\pm 3\sqrt{1+m^2}.$$ Если $b$ между этими значениями, прямая пересекает окружность в двух точках; вне — не пересекает; при равенстве — касание.
- При фиксированном $b$: условие на $m$ задаётся неявно
$$|b+m+2|<3\sqrt{1+m^2}.$$
Отдельный случай вертикальных прямых
- Прямая $x=k$ (не входит в вид $y=mx+b$) пересекает окружность тогда и только тогда, когда
$$|k-1|<3$$ (касание при $|k-1|=3$).
Обобщение
- Для произвольной окружности с центром $(x_0,y_0)$ и радиусом $R$ и прямой $y=mx+b$ критерий тот же: расстояние
$$d=\frac{|m{x}_0-y_0+b|}{\sqrt{1+m^2}}$$ и сравнение $d$ с $R$. При фиксированном $m$ касательные задаются
$$b=y_0-m{x}_0\pm R\sqrt{1+m^2}.$$ - Семейство прямых, проходящих через фиксированную точку $P$: если $P$ лежит внутри окружности ($OP<R$), то любая прямая через $P$ пересекает окружность в двух точках; если $OP=R$, то среди прямых через $P$ ровно одна — касательная; если $OP>R$, через $P$ можно провести ровно две касательные (границы множества углов), а остальные прямые дают 0 или 2 пересечений в зависимости от угла.
Методика перехода от геометрии к аналитике (кратко)
1. Из геометрии: сравнить расстояние центра до прямой с радиусом.
2. Аналитически: подставить уравнение прямой в уравнение окружности → квадратное уравнение по $x$ → дискриминант.
3. Связать дискриминант с расстоянием (как выше) для наглядной интерпретации и получить явные формулы для порогов и точек пересечения.