Из равенства
$$|XA|+|XB|=|XB|+|XC|$$ следует сокращением $|XB|$:
$$|XA|=|XC|.$$
Следовательно геометрическое место точек $X$ — множество всех точек, равноудалённых от вершин $A$ и $C$, то есть перпендикулярный биссектор отрезка $AC$:
$$\{X:|XA|=|XC|\}.$$ Этот набор — прямая, проходящая через середину $M$ отрезка $AC$ и перпендикулярная $AC$. В координатной форме, при $A,C,M=(A+C)/2$, уравнение прямой можно записать как
$$(X-M)\cdot (C-A)=0.$$
Структура и связность:
- Множество — одна прямая, бесконечная, односвязная и путь\,---\,связная (гомеоморфна $\mathbb{R}$).
- Зависимость от формы треугольника: условие не зависит от положения $B$ — locus определяется только точками $A$ и $C$. Единственная особая ситуация — вырожденный случай $A=C$ (нетривиален).
- В частном случае равнобедренного треугольника с $AB=BC$ вершина $B$ лежит на этой прямой; в общем случае $B$ не принадлежит биссектору. Перпендикулярный биссектор всегда проходит через середину $AC$; для невырожденного треугольника он, кроме точки на стороне $AC$, в общем пересекает и внутренность треугольника (и выходит за его пределы).