Короткий ответ: дополнительных условий не требуется — при данных условиях четырёхугольник обязательно является параллелограммом и даже ромбом.
Доказательство (координатное, кратко). Положим $A=(0,0)$, $B=(b,0)$, где $b=|AB|$. Так как $CD\parallel AB$ и $|CD|=b$, координаты точек $C,D$ можно записать как $C=(x,h)$, $D=(x-b,h)$ (вторая ориентация $D=(x+b,h)$ будет рассмотрена ниже). Тогда
$$BC=(x-b,h),AD=(x-b,h),$$ и значит $BC=AD$, т.е. $BC=AD$ и $BC\parallel AD$. Следовательно $AB\parallel CD$ и $BC\parallel AD$ — $ABCD$ параллелограмм.
Осталось показать, что вторая ориентация $D=(x+b,h)$ несовместима с условием перпендикулярности диагоналей. В этой ориентации
$$AC=(x,h),BD=(x,h),$$ и тогда скалярное произведение $AC\cdot BD=x^2+h^2$. Условие $AC\perp BD$ даёт $x^2+h^2=0$, т.е. $x=h=0$ (вырожденный случай), который исключается. Следовательно единственно возможная (невырожденная) конфигурация даёт параллелограмм.
Переход к ромбу. В параллелограмме диагонали пересекаются в серединах; пусть $O$ — точка пересечения. Введём половинные диагональные векторы $p=\frac{1}{2}AC$, $q=\frac{1}{2}BD$. Тогда четыре стороны параллелограмма равны векторам $p+q$, $p-q$, $-p-q$, $-p+q$. Условие $AC\perp BD$ эквивалентно $p\cdot q=0$, и тогда
$$|p+q{|}^2=|p{|}^2+|q{|}^2=|p-q{|}^2,$$ т.е. все четыре стороны равны. Следовательно параллелограмм — ромб.
Контрпримеры (показывают необходимость обеих исходных гипотез, если одну из них снять):
- Если убрать условие ортогональности диагоналей, то при $AB\parallel CD$ и $|AB|=|CD|$ четырехугольник не обязателен параллелограммом: например
$$A=(0,0),B=(1,0),C=(2,1),D=(3,1).$$ Здесь $AB\parallel CD$, $|AB|=|CD|=1$, но $BC\ne AD$, значит не параллелограмм; диагонали здесь не перпендикулярны.
- Если убрать условие $|AB|=|CD|$ (оставив только $AB\parallel CD$ и $AC\perp BD$), параллелограммом не обязаны быть (может получиться трапеция с перпендикулярными диагоналями).
Вывод: при заданных в условии свойствах (и только при них) четырёхугольник обязательно параллелограмм, а т.к. в нём диагонали перпендикулярны, то он — ромб.