Краткий ответ: существует и единственен (с точностью до конгруэнции) треугольник с заданными положительными высотами $h_a,h_b,h_c$ тогда и только тогда, когда их обратные образуют стороны некоторого (недегenerate) треугольника, то есть выполнены неравенства
$$\frac{1}{h_a}<\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c},\frac{1}{h_b}<\frac{1}{h_c}+\frac{1}{h_a},\frac{1}{h_c}<\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}.$$ Алгоритм построения (циркулем и линейкой):
1. Пусть $x=\frac{1}{h_a},y=\frac{1}{h_b},z=\frac{1}{h_c}$. Проверить указанные неравенства; если одно из них равенство или не выполняется, решения нет (см. ниже случаи).
2. Построить по обычному способу треугольник $T_0$ со сторонами $x,y,z$ (возможен, т.к. выполнены треугольные неравенства). Обозначим его площадь $S_0$.
3. Найти $S_0$ геометрически: опустить из вершины, противоположной стороне $x$, высоту $t$; тогда $S_0=\frac{xt}{2}$. (Все эти отрезки строятся циркулем и линейкой.)
4. Построить число (отрезок) $\lambda =\frac{1}{2S_0}$. Это делается стандартной операцией деления/умножения отрезков через подобие треугольников (взять некоторую эталонную единицу и получить отношение).
5. Выполнить гомотетию $T_0$ с любым центром (например, с какой-нибудь вершины) с коэффициентом $\lambda$. Полученный треугольник $T$ будет искомым. Тогда его стороны равны $a=\lambda x,b=\lambda y,c=\lambda z$, и его высоты равны $h_a,h_b,h_c$.
Возможные случаи существования:
- Если три неравенства выше выполняются строго, то существует ровно один (с точностью до конгруэнции) треугольник с данными высотами (при фиксированном назначении высот вершинам).
- Если хотя бы одно из неравенств превращается в равенство (например $\frac{1}{h_a}=\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}$), то треугольник со сторонами $x,y,z$ вырожден (площадь $S_0=0$) и соответствующего конечного треугольника с заданными высотами не существует.
- Если одно из $h_a,h_b,h_c$ равно нулю или отрицательно — не рассматриваем (нефизично для высот).
Доказательство корректности:
- Для любого треугольника с основаниями сторон $a,b,c$ и площадью $S$ высота к стороне $a$ равна $h_a=\frac{2S}{a}$. Значит если заданы $h_a,h_b,h_c$, то стороны должны иметь вид
$$a=\frac{2S}{h_a},b=\frac{2S}{h_b},c=\frac{2S}{h_c},$$ для некоторого положительного числа $S$. Следовательно стороны пропорциональны $x=\frac{1}{h_a},y=\frac{1}{h_b},z=\frac{1}{h_c}$: $a=\kappa x,b=\kappa y,c=\kappa z$ с $\kappa =2S$.
- Пусть построен треугольник $T_0$ со сторонами $x,y,z$ и площадью $S_0$. При гомотетии с коэффициентом $\lambda$ получаем площадь $S={\lambda }^2{S}_0$ и стороны $a=\lambda x$ и т. д. Тогда высота к стороне $a$ $$h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2{\lambda }^2{S}_0}{\lambda x}=\frac{2\lambda S_0}{x}.$$ Чтобы получить $h_a=\frac{1}{x}$ (поскольку $x=1/h_a$), достаточно выбрать $\lambda =\frac{1}{2S_0}$. Аналогично для остальных высот — они совпадут. Таким образом единственный подходящий масштаб $\lambda$ существует тогда и только тогда, когда $S_0>0$, то есть когда $x,y,z$ образуют ненулевой треугольник.
Следовательно критерий существования — треугольные неравенства для $x,y,z$, алгоритм даёт корректный треугольник, и он единственен (коэффициент гомотетии однозначен), как требовалось.
Замечание о типе треугольника: получившийся треугольник может быть остроугольным или тупоугольным в зависимости от отношений $x,y,z$; это не препятствует построению, высоты у тупого треугольника по определению могут опускаться за стороны, но их длины положительны и удовлетворяют приведённым формулам.