Условие: точка $M(x,y,z)$ равноудалена от прямой $l$ и от плоскости $\pi$. Обозначим уравнение плоскости $\pi$ в общем виде $ax+by+cz+d=0$ (нормаль $n=(a,b,c)$), прямую $l$ зададим точкой $r_0=(x_0,y_0,z_0)$ и направляющим вектором $u=(u_1,u_2,u_3)$. Расстояния:
- до плоскости: $D_{\pi }=\frac{|ax+by+cz+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$,
- до прямой: $D_l=\frac{\Vert (r-r_0)\times u\Vert }{\Vert u\Vert },$ где $r=(x,y,z)$.
Условие равноудалённости даёт векторное уравнение
$$\frac{\Vert (r-r_0)\times u\Vert }{\Vert u\Vert }=\frac{|ax+by+cz+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},$$ или, возведя в квадрат,
∥(r−r0)×u∥2 (a2+b2+c2)=∥u∥2 (ax+by+cz+d)2. \big\|(r-r_0)\times u\big\|^2\,(a^2+b^2+c^2)=\|u\|^2\,(ax+by+cz+d)^2.
(r−r0 )×u 2(a2+b2+c2)=∥u∥2(ax+by+cz+d)2. Это в общем виде уравнение квадрики (квадратичная в $x,y,z$). Дальше — разбор существенных частных случаев.
1) Прямая пересекает плоскость (точка пересечения возьмём за начало координат). Тогда оба расстояния однородны степени 1 по координатам, следовательно полученная поверхность является конусом с вершиной в точке пересечения. В удобной системе: пусть $\pi :z=0$, прямая проходит через начало и имеет направляющий вектор $u=(\cos \varphi ,0,\sin \varphi )$. Тогда условие даёт однородное уравнение
$${\sin }^2\varphi z^2+2\sin \varphi \cos \varphi xz-{\sin }^2\varphi x^2-y^2=0,$$ что есть (в общем) квадратичный конус. Особые подслучаи:
- если $\varphi =\frac{\pi }{2}$ (прямая перпендикулярна плоскости), то $\sin \varphi =1,\cos \varphi =0$ и конус становится круговым:
$$z^2=x^2+y^2.$$ - если $\varphi =0$ (прямая лежит в плоскости), то из исходного равенства для $\pi :z=0$ получаем $y^2=0$, т.е. искомое множество — плоскость, содержащая $l$ и перпендикулярная $\pi$ (в приведённых координатах это плоскость $y=0$).
2) Прямая параллельна плоскости (не лежит в ней). Поставим $\pi :z=0$ и пусть прямая параллельна оси $x$ и проходит на высоте $z=h$: $l:(t,0,h)$. Тогда
$$|z|=\sqrt{y^2+(z-h{)}^2}.$$ После возведения в квадрат и приведения получаем параболу по переменным $y,z$, не зависящую от $x$:
$$z=\frac{y^2+h^2}{2h}(\text{при}h\ne 0).$$ Это параболический цилиндр (параболоид цилиндрического типа), ось которого параллельна направлению прямой $l$. Геометрически: сечение плоскостью, перпендикулярной $l$, даёт параболу.
Замечания:
- Общее уравнение через векторное выражение выше покрывает все случаи; вид квадрики определяется взаимным положением $l$ и $\pi$.
- Дегенации: при $l$ лежащей в $\pi$ получаем плоскость; при пересечении — конус; при параллельности — параболический цилиндр; при $l\perp \pi$ конус круговой.